Suma Sansana y Telescópica

José Enrique González Cornejo
Enero 2024

Indice  Introducción Enunciado Desarrollo Solución  º Potencias de 10  º Aplicación Telescópica  º Probando $\mathbf {t_i=\frac{10^i-1}{9}}$  º Inducción Mat. $\mathbf {t_i=\frac{10^i-1}{9}}$  º Fórmula $\mathbf {S_n=\sum_{i=1}^n t_i}$  º Deducción y Solución Conclusión Notas Adjuntas Canal Videos DocIRS Artículos del Autor

Sansano Pensando la Solución1  Introducción Hace más de 50 años, en 1970, en la Universidad Técnica Federico Santa María de Valparaíso, nos encontrábamos inmersos preparando el primer certamen de Cálculo I, estudiando diligentemente con el famoso libro "Kitchen"2, en particular en ese instante con las complejidades de las sumatorias de series. Fue ahí, en ese momento cuando un compañero sansano3 de universidad de cursos superiores que llamábamos Kacle, nos planteó un desafío de la suma de una serie que me acompañaría a mí y a otros estudiantes durante varios días. Su propuesta era simple a primera vista, la suma de una serie infinita de números enteros cuyos términos eran formados solo por unos y había que encontrar la fórmula que diera en resultado de la suma en función de $\large n$. En aquel tiempo, nos encontrábamos en la era de los libros de texto que conseguíamos en la biblioteca de la universidad, y el autor de referencia Joseph W. Kitchen era un recurso escaso. La obra, - de tapas gastadas por su demanda 13 -, nos guiaba a través de múltiples problemas resueltos y ejercicios. Así mismo nos desafiaba a explorar otros diversos problemas matemáticos más avanzados, desde Teoría de Conjuntos hasta series de Fourier, Productos Infinitos, etc. La serie en cuestión era como un enigma donde se aplicaba la propiedad matemática llamada "telescópica"4 sobre una serie. Mi mente se sumergió en las páginas del libro en busca de respuestas con números, fórmulas, símbolos que llenaban nuestro mundo de borradores de pizarrón y de papel y lápiz. Todo el grupo de estudiantes del dormitorio en nuestro internado, nos embarcábamos en un viaje de resolución de la suma de dicha serie. Al final, no sólo resolvimos el problema que al principio parecía muy complejo, sino que elaboramos una solución. Además, cuando comenzó a tomar forma la explicación se revelaron diferentes patrones ocultos que son replicables y que ayudan a descubrir diversos trucos algebraicos que residen en el proceso de resolver ese tipo de desafíos matemáticos. Aquella simple serie, se convirtió en una huella imborrable en mi viaje académico, un recordatorio de la capacidad humana para sobreponer lo aparentemente difícil con paciencia, colaboración y perseverancia. Hoy, en una era de avances tecnológicos inimaginables10, tengo el gusto de publicar en nuestro sitio Web, el presente artículo con el desarrollo detallado que le dimos juntos en colaboración todo un grupo de sansanos a ese problema de complejidad aparente. Aparente dilema que sin embargo, fue un aporte estimulante a nuestras mentes forjando una conexión duradera con el fascinante mundo de las matemáticas.  Enunciado Buscar la fórmula general $\large{S_n}$, implica la sumatoria siguiente vista por extensión de sus elementos5: $$ \mathbf { S_n=1+11+111+1111+\dots +\underbrace{1111\dots 111}_{n \text{ veces } 1}\qquad\quad [1] }\\ \text{Donde, }n\in \mathbb {N}✐ $$ La serie es infinita, donde cada término es una concatenación de unos. La fórmula general para el $i$-ésimo término se denotará como $\large{t_i}$ y a continuación se demostrará paso a paso que la sumatoria $[1]$ del enunciado está determinada por la siguiente expresión6: $$ \large{\bbox[#ffffea,8px,border:2px solid #c0c0c0] { \sum_{i=1}^n t_i=\frac{\left ((\frac{(10^{n+1})-10}{9})-n \right)}{9} }} \qquad\quad [3]✐ $$  Desarrollo de la Solución Propuesta Sea $\large{S_n=\sum_{i=1}^n t_i}$, donde cada sumando $\large{t_i}$, es de la forma: $$\underbrace{1111\dots 111}_{i \text{ veces } 1}\\i\in \mathbb N \land i\le n$$,  i) Cada Término como Potencias de $\mathbf {10}$ Se deduce que el término general del sumando $\large{t_i}$ de la sumatoria $S_n$ (rotulada como $[1]$), se puede expresar como suma de potencias de $10$. En efecto,7 $$ \underbrace{10^0}_{\underbrace{1}_{t_1}},\underbrace{10^0+10^1}_{\underbrace{11}_{t_2}},\underbrace{10^0+10^1+10^2}_{\underbrace{111}_{t_3}},\underbrace{10^0+10^1+10^2+10^3}_{\underbrace{1111}_{t_4}},\dots + \underbrace{\sum_{i=1}^{n} 10^{i-1}}_{\underbrace{111 \dots 111}_{t_n}} ✐$$  ii) Aplicación Telescópica La propiedad telescópica de la suma de una serie, cuyo término general, - en este caso - es de la forma $a_i \gt 1\text{ con } a_i \in \mathbb N$, y se utilizará la fórmula de una sumatoria de serie finita4: $$ \require{cancel} \begin{array}{cc} \mathrm{ } & \mathrm{ } \\ S_n=\sum_{i=1}^n a_i \text{ }=\text{ }\cancel{a_1} + \cancel{a_2} + \cancel{a_3} \dots \cancel{a_{n-1}} + \mathbf{a_n} \\ - S_{n-1}=\sum a_{i-1}=\mathbf{a_0} + \cancel{a_1} + \cancel{a_2} + \cancel{a_3} \dots \cancel{a_{n-1}} \\ \hline S_n - S_{n-1}=\sum_{i=1}^n a_i-\sum a_{i-1}=\large{a_n - a_{0}}\\ \end{array} \\ \Rightarrow\\ \sum_{i=1}^n a_n=\sum_{i=1}^n (a_{i}-a_{i-1})=a_n - a_0 \qquad\quad[4]✐$$ Nótese que la sumatoria $S_{n}$ comienza con el término $a_1$ y finaliza con el término $a_{n}$, mientras que la sumatoria $S_{n-1}$ comienza con $a_0$ y finaliza con $a_{n-1}$. Por eso, al aplicar la diferencia $\large{S_{n}-S_{n-1}}$, se cancelan los términos respectivos resultando la expresión reducida $\large{a_n - a_0}$. Es decir, reemplazando en términos numéricos nuestro caso particular en $[4]$ y desagregando en sumas parciales, se tiene8: $$ \sum_{i=1}^n 10^i=\sum_{i=1}^n 10^i - \sum_{i=1}^n 10^{i-1} =10^n - 10^0=10^n-1 \\ \Rightarrow\\ 10 \times \underbrace{\bbox[#ffffea]{\sum_{i=1}^n 10^{i-1}}-\bbox[#ffffea] {\sum_{i=1}^n 10^{i-1}}}_{términos\text{ }semejantes}=10^n-1 \\ 9 \times \sum_{i=1}^n 10^{i-1}=10^n-1 \\ \Rightarrow\\ \sum_{i=1}^n 10^{i-1}=\frac{10^i-1}{9} \\ \Rightarrow $$ $$\large{\bbox[#ffffea,8px,border:2px solid #c0c0c0]{t_n=\frac{10^n-1}{9}}}\qquad\quad [2] ✐$$ Otro enfoque que permite encontrar esta misma fórmula rotulada $[2]$ en función de $n$ para el término general $\large{t_n}$, es mediante el cálculo de la suma de una serie geométrica finita. En efecto, la fórmula de la suma de los primeros $\large{n}$ términos de una serie geométrica con razón $\large{r}\ne 1$ es: $$t_n = \large{a_{0}}\left(\frac{1 - r^n}{1 - r}\right)$$ En este caso, $\large{a_{0}} = 1$ (el primer término de la serie) y la razón $\large{r} = 10$. Sustituyendo estos valores, obtenemos: $$t_n = 1 \left(\frac{1 - 10^n}{1 - 10}\right)$$ Simplificando, obtenemos la fórmula $[2]$: $$ t_n = \frac{1 - 10^n}{-9}=\frac{10^n - 1}{9}\text{ }\large{✓} $$  iii) Probando por Extensión la Fórmula $\mathbf {t_i=\frac{10^i-1}{9}}$ $i=1 \Rightarrow t_1=\frac{(10^1-1)}{9}=\frac{9}{9}=1$ $i=2 \Rightarrow t_2=\frac{(10^2-1)}{9}=\frac{99}{9}=11$ $i=3 \Rightarrow t_3=\frac{(10^3-1)}{9}=\frac{999}{9}=111$ $i=4 \Rightarrow t_4=\frac{(10^4-1)}{9}=\frac{9999}{9}=1111$ $\dots$ $\dots$ $i=n \Rightarrow t_n=\frac{(10^n-1)}{9}=\frac{9999\dots999}{9}=\underbrace{1111\dots 111}_{n \text{ veces } 1}\large{\mathbf ✓}$ Ingrese un $n$  iv) Prueba por Inducción Matemática de $\large{\mathbf {t_n=\sum_{i=1}^n t_i}}$ Desde la expresión $[1]$ y $[2]$ , se tiene lo siguiente: $$ S_n = 1 + 11 + 111 + \ldots + \underbrace{\sum_{i=1}^{n} (10^{i - 1})}_{t_n} $$ Es decir, el n-ésimo término se expresa como $t_n=\sum_{i=1}^{n} (10^{i - 1})$. Ahora, aplicaremos los pasos del principio de inducción matemática15 para $t_n$, que se ilustran a continuación: a) Prueba para $n =1$ $$t_1 = 1 = \frac{10^1 - 1}{9}$$ Verificada la fórmula para $n=1\text{ }\large{✓}$. b) Se supone que cumple para $n=k$ Es decir, se asume que la expresión $[2]$ se cumple con $n=k$: $$ t_k = \frac{10^k - 1}{9} $$ c) Se demostrará que la fórmula es válida para $n =k + 1$ Luego, se suma a $t_k$ el siguiente término $t_{k+1}$ y se obtiene: $$ t_{k+1} = t_k + 10^{k+1} - 1 $$ Sustituyendo el supuesto de inducción, se tiene: $$ t_{k+1} = \frac{10^k - 1}{9} + 10^{k+1} - 1 $$ Multiplicando ambos miembros por $9$, despejando el denominador: $$ 9\times t_{k+1} = 10^k - 1 + 9 \cdot 10^{k+1} - 9 $$ Sumando los términos semejantes: $$ 9\times t_{k+1} = 10^{k+1} - 1 $$ Dividiendo ambos lados por $9$: $$ t_{k+1} = \frac{10^{k+1} - 1}{9}\text{ }\large{✓} $$ Se probó que si la fórmula es válida para $n=k$, entonces también es verdadera para $$ n = k + 1$$ Luego, dado que ya se demostró, - mediante el principio de inducción matemática -, que la fórmula es válida para $n = 1$, se concluye que la fórmula es válida para todos los números naturales $n \in \mathbb N$.  v) Fórmula para la Suma $\large{\mathbf {S_n=\sum_{i=1}^n t_i}}$ Ahora, se determina la sumatoria de los $\large{t_i}$ de $\large{i=1}$  hasta $\large{i=n}$: Probando la fórmula $[3]$ por extensión 14 la suma de los primeros $\large{n}$ términos de la serie: $S_1 \Rightarrow t_1=\frac{(10^1-1)}{9}=\frac{9}{9}=1$ $S_2 \Rightarrow t_1 + t_2=\frac{(10^1-1)}{9}+\frac{(10^2-1)}{9}=1 +11 =12$ $S_3 \Rightarrow t_1 + t_2 +t_3=\frac{(10^1-1)}{9}+\frac{(10^2-1)}{9}+\frac{(10^3-1)}{9}=1 +11+111=123$ $S_4\Rightarrow t_1 + t_2 +t_3 + t_4=\frac{(10^1-1)}{9}+\frac{(10^2-1)}{9}+\frac{(10^3-1)}{9}+\frac{(10^4-1)}{9}=1 +11+111+1111=1234$ $\dots$ $\dots$ $S_n\Rightarrow t_1 + t_2 +t_3+\dots+ t_n=t_1 + t_2 +t_3+\dots + \frac{\left ( (10\frac{(10^n-1)}{9})-n\right)}{9}\large{\mathbf ✓}$  vi) Deducción y Solución ~ Fórmula para $\mathbf {S_n}$ Desagregando $[3]$ en sumandos parciales y utilizando las popiedades lineales de las sumatorias9: $$ \sum_{i=1}^n t_i =\sum_{i=1}^n \left(\frac{10^i-1}{9}\right)=\frac{1}{9} \left(\underbrace{10\times\sum_{i=1}^n 10^i}_{10\times\frac{10^n-1}{9}} - \underbrace{\sum_{i=1}^n 1}_{n} \right) $$ Dado que $$\sum_{i=1}^n 10^i=10\times \left(\frac{10^n-1}{9}\right) \quad \land \quad \sum_{i=1}^n 1 =n \Rightarrow $$ $$ \bbox[#ffffea,8px,border:2px solid #c0c0c0] {\sum_{i=1}^n t_i=\frac{\left ((\frac{(10^{n+1})-10}{9})-n \right)}{9}}\large{\mathbf ✓} $$ Q.E.D.// Probando la fórmula $[3]$ por especificación 14 la suma de los primeros $n$ términos de la serie: $n=1 \Rightarrow \sum_{i=1}^1 t_1=\frac{\left ( (\frac{10^2-10}{9})-1 \right)}{9}=1 ✐$ $n=2 \Rightarrow \sum_{i=1}^2 t_i=\frac{\left ( (\frac{10^3-10}{9})-2 \right)}{9}=12 ✐$ $n=3 \Rightarrow \sum_{i=1}^3 t_i=\frac{\left ( (\frac{10^4-10}{9})-3 \right)}{9}=123 ✐$ $n=4 \Rightarrow \sum_{i=1}^4 t_i=\frac{\left ( \frac{10^5-10}{9})-4 \right)}{9}=1234 ✐$ $\dots$ $\dots$ Ingrese un $n$  Conclusión En conclusión, a lo largo de esta presentación matemática, se exploró de manera detallada y rigurosa la resolución de un problema desafiante en cálculo, la suma de una serie infinita de números enteros de la forma $\left(t_n=\frac{10^n-1}{9}\right)$. Mediante el uso de la propiedad telescópica y recursos algebraicos, encontrando la estructura de la serie. Al aplicar la telescópica, se demostró cómo simplificar la expresión de la suma $\sum_{i=1}^n t_i$, descomponiéndola en términos que se cancelan mutuamente, dejándonos con una expresión más manejable y fácil de evaluar. Además, haciendo uso de recursos algebraicos y manipulando las expresiones se logró la simplificación y reducción de la suma a una forma cerrada desde $i=1 \text{ hasta } n \text{ con } i,n\in \mathbb N$. En última instancia, este ejercicio va más allá de la resolución puntual del problema, nos deja con una apreciación de las estrategias analíticas y algebraicas que se pueden aplicar en el ámbito del cálculo. El resultado final de nuestro análisis es una expresión que representa la suma deseada.