José Enrique González Cornejo
Enero del 2012

Introducción

A continuación desarrollaremos un ejemplo de regresión lineal múltiple, utilizando datos del Instituto Nacional de Estadísticas (INE) de Chile, extraídos de Series de Indicadores Excel del Banco Central de Chile (Ver Datos).

Figura 1

Intencionadamente, hemos buscado variables relacionadas con  el empleo, la exportación minera, y la importación de bienes. La idea es ilustrar el procedimiento estadístico-matemático y resolución con Excel, sin mayores pretensiones de establecer una interpretación económica actualizada de las relaciones que adoptemos.

El supuesto para determinar la ecuación es que existe una relación entre las variables que hemos incluído en el modelo (Ver [R1]). Luego, a partir de las data recolectada en la muestra (Ver Figura 2) se gráficará un diagrama de dispersión sobre el plano cartesiano, de donde se visualizará el ajuste de la curva que aproxime de la mejor forma los datos (Ver Simulador Ajuste de Curvas ).

Nos enfocaremos en la configuración del modelo estadístico-matématico, complementado con dos artículos asociados que son básicos para la comprensión del método de los Mínimos Cuadrados:

Un primer artículo complementario donde se muestran las tendencias de la curva bajo un conjunto de observaciones en el plano, utilizando un simulador gráfico aleatorio con el ajuste de curvas. "¿Cómo se deduce la fórmula de los coeficientes Mínimos Cuadrados? "

Un segundo artículo con una demostración de la deducción de la fórmula que determina la distancia más corta de un punto a la curva en el plano. "Distancia de un Punto a una Recta ".

Es decir, estimaremos los parámetros de tres variables utilizando el método de los mínimos cuadrados, explicado en Complemento de Conceptos Matemáticos ~ Mínimos Cuadrados, a fin de analizar los cambios que operan en la relación.

Para este efecto, buscamos un tramo de datos de 34 meses consecutivos, desde marzo del 2009 hasta diciembre del 2011, para la Tasa de Desocupación (%)^[1],  Total Exportaciones  Mineras^[2]  y el  Total de Importación de Bienes (FOB) ^[3] en Chile.

Modelo

Analizaremos la variación de la Tasa de Desocupación, explicada por las variables y Exportaciones  Mineras y los Totales de Importación de Bienes Importación de Bienes durante ese rango de tiempo.

Sea $Y$ una función  general  explicada por 2 variables agregadas, expresada en el siguiente modelo:

Donde:

Y: Tasa de Desocupación (%) (Miles de personas);

X₁: Total de Importación de Bienes (FOB,Millones de dólares)

X₂: Exportaciones Mineras  (Millones de dólares);

$\mu$ : Error o Residuo

Cada una de estas variables definida  en el periodo t. Donde los coeficientes a estimar son $\beta_0,\beta_1,\beta_2 \in R$. Así mismo el error $\mu \in R$.

Obsérvese, que el parámetro tiempo está implícitamente incorporado, efectivamente la expresión [R1],  formalmente puede tratarse mediante la siguiente función:

Y_t = F(X_1t , X_2t)                       [R2]

Por tanto, determinaremos la función, utilizando un modelo lineal, con la data de los periodos mensuales desde marzo 2009 hasta marzo 2010. Es decir, ordenaremos en Series de Tiempo o una secuencia ordenada por año los valores agregados de las variables que explican la variación de Y.

Donde t es el valor en el mes t de la variable a explicar Y, ß₀ es el intercepto o valor inicial en t=0, y  $\hat{\beta_1}$  y  $\hat{\beta_2}$ son los coeficientes, - a estimar -, que acompañan las variables explicativas, y $\mu$ el error (o residuos para cuadrar la ecuación [R1]).

Nótese que el supuesto que parte de la variación de la Tasa de Desocupación se puede analizar mediante los Totales de Importación de Bienes (X₁) y  Exportaciones  Mineras (X₂), es una hipótesis que utilizamos sólo como ejercicio, para complementar el procedimiento estadístico de la regresión lineal múltiple.  

El ejercicio utiliza estas series de tiempo,  por la existencia de datos reales que tenemos sobre estas tres variables.

Por tanto, asumimos que con los datos disponibles  y el  método de regresión lineal múltiple  es posible estimar los coeficientes de la ecuación [R1]  para que representar la distribución conjunta de las dos variables incluidas en el modelo.

La proyección Y_t+1  agregada y diferenciada se estimará realizando cambios en las variables explicativas (también cambiando los niveles de la tasa Y_t+1). Por ejemplo, mantendremos constante el valor promedio del Total de Importación de Bienes, para estimar en cuánto deben variar las Exportaciones Mineras para alcanzar un determinado nivel de Tasa de Desocupación.

Figura 2

Sólo por observación del “plotting” de la Figura 2,  podemos concluir que la curva, a estimar mediante el método de los mínimos cuadrados, tendrá pendiente negativa: También se observa  que es probable que las variables explicativas no sean tan independientes. Es decir, que exista colinearidad entre X₁ y X₂ .  Nótese que siempre nos hemos referido a estas 2 variables incorporadas al modelo, como explicativas. Es decir, en ningún momento la hemos mencionado como variables independientes, dado que este supuesto de independencia es “temerario”, para no decir falso.

La Data

El Cálculo

Figura 3
 

El Resultado

Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple	0,9121
Coeficiente de determinación R^2	0,8320
R^2  ajustado	0,8212
Error típico	0,7021
Observaciones	34,0000
Análisis de Varianza
	Grados de libertad	Suma de cuadrados	Promedio de los cuadrados	F	Valor crítico de F
Regresión	2	75,6924	37,8462	76,7664	0,0000
Residuos	31	15,2832	0,4930
Total	33	90,9756
	Coeficientes	Error típico	Estadístico t	Probabilidad	Inferior 95%	Superior 95%	Inferior 95,0%	Superior 95,0%
Intercepción	15,5129	0,5979	25,9459	0,0000	14,2935	16,7323	14,2935	16,7323
Variable X 1	-1,0582	0,1807	-5,8562	0,0000	-1,4268	-0,6897	-1,4268	-0,6897
Variable X 2	-0,5019	0,2700	-1,8592	0,0725	-1,0525	0,0487	-1,0525	0,0487

Tabla 3 ~ Resultados Y=F(X₁, X₂)

Análisis de Resultados

Donde los valores entre paréntesis son los errores estándar de los coeficientes estimados.

La interpretación de la resultante de la regresión es la siguiente:

i) Para el período de la muestra, cuando ambas variables explicativas son cero (al momento inicial), entonces la Tasa de Desocupación (Y) es de alrededor de 15,51%. No necesariamente el intercepto tiene significado económico.

ii) El coeficiente parcial -1,0582 que acompaña a la variable Importación de Bienes (X₁), significa que su efecto es negativo sobre la variación de la Tasa de Desocupación (Y). Es decir,  si crece en una unidad la importación de bienes, la tasa de desocupación decrece en aproximadamente 1,1%. A la inversa, si disminuye en una unidad la Tasa de Desocupación aumenta en alrededor de 1.1% en el periodo.

El coeficiente parcial -0,5019  que acompaña a la variable Exportaciones  Mineras (X₂) sobre el periodo marzo 2009 – marzo 2011, tiene un efecto negativo sobre la Tasa de Desocupación (Y) en un 0.5%.

iv) El Coeficiente de Determinación  R², significa que ambas variables X₁ y X₂ explican la variación de la Tasa de Desocupación (Y) en 82% .

v) A si mismo, existe una 18% inexplicado que se le atribuye al error μ

En términos de las expectativas a priori, ambas variables explicativas tienen el signo esperado.

Sin embargo, es para cuestionarse la colinearidad de las variables explicativas introducidas al modelo, dado que el coeficiente de correlación es muy alto.

Figura 4

Del diagrama observamos que existe una pendiente positiva y que tendremos una correlación relativamente alta entre estas variables.

Por tanto, sugerimos regresar X₁ versus X₂,  a fin de analizar el grado de correlación.

Nótese que le método de regresión lineal no se utiliza sólo para confirmar hipótesis, sino también para boicotear o rechazar la hipótesis.

Veamos:

Aplicando la Regresión del Complemento Análisis de Datos del Excel, obtenemos:

Nótese que se estima un coeficiente ajustado de determinación del 63%, lo que nos señala un grado de coliniaridad entre las variables X₁  y  X₂, que no induce a cambiar el Diagrama 1  por el siguiente:

Figura 5

Si se regresa la variable Y con X₂ arroja un R^{2 /sup>Ajustado de 63%. Así mismo si regresa Y con X₁ se obtiene un R2 Ajustado de 80%.}

Ambas variables juntas introducidas en el modelo, explican la variación de Y en un 82% (VerTabla 3 ~ R²Ajustado= 0,82)

Proyección

Supongamos se desea disminuir la Tasa de Desocupación al 6% en un año, manteniendo constante el Total de las Importaciones de Bienes, cuyo valor promedio mensual en los 34 meses es de aproximadamente US$ 4,72 millones entonces ¿En cuánto se debe aumentar las Exportaciones Mineras?

Notas