El bit (Binary Digit) es la unidad mínima de información empleada en informática, que se expresa por dos posibles estados $0$ y $1$. Con esta base binaria se hace uso directo del almacenamiento primario de datos.

Representación Bit: Binary Digit

Es muy importante en esta comparación tener presente, que en el estado que está el bit es el estado que observamos del bit.

En efecto, el estado del bit es físicamente observable, y se puede guardar como tal en un dispositivo de almacenamiento digital, se trabaja con la dirección de magnetización u otras marcas binarias de esos núcleos. Estas asignaciones son apropiadas para construir un sistema de numeración binaria de almacenamiento, porque permite utilizar los dígitos binarios $0$ y $1$ para representar datos.

Representación Almacenamiento de Numeración Binaria

Sobre esta unidad básica de información, llamada bit se basa la computación clásica.

A continuación se ilustra una interfaz, - que contiene un algoritmo-, que transforma números decimales a su equivalente binario. (Ver Algoritmo para el Cambio de Base Numérica)

La unidad básica de la información cuántica es el qubit.

Un qubit corresponde a un sistema físico que tiene dos estados ortogonales, que denotamos de acuerdo a la Notación de Dirac¹ como: $|0〉$ y $|1〉$. Los estados del sistema, que denotamos $|ψ〉$ se denominan kets.

Dirac: Representación de Estados Ortogonales

Estos estados no vacíos se tratan como vectores de base². Es decir, se aplica una correspondencia hacia una estructura algebraica de Espacio Vectorial.

Esto implica que la estructura está dotada con una operación interna Adición, y una operación externa Producto por un escalar, definida sobre un cuerpo K (como los números Reales o los números Complejos).

i. Asociatividad $|x〉 + (|y〉 + |z〉) = (|x〉 + |y〉) + |z〉$

ii. Tiene Elemento Neutro Aditivo $|x〉 + |0〉 = |0〉 + |x〉 = |x〉$

iii. Tiene Elemento Inverso $|x〉 + |-x〉 = |0〉$

iv. Conmutativa $|x〉 + |y〉 = |y〉 + |x〉$

v. Multiplicación de vector por escalar $a(b|x〉) = (ab)|x〉$

vi. Distributiva Escalar $a(|x〉 + |y〉) = a|x〉 + a|y〉$

vii. Distributiva $(a + b)|x〉 = a|x〉 + b|x〉$

viii. Tiene Neutro Multiplicativo $1|x〉 = |x〉$

Por tanto, un qubit puede también encontrarse en una Superposición de los estados $|1〉$ y $|0〉$. Es decir, como una combinación lineal de los vectores de base, de la forma: $\alpha_0|0〉+\alpha_1|1〉$. Estos coeficientes $α_i$, son denominados amplitud de probabilidad⁴, los cuales son números complejos que se utilizan para describir el comportamiento del sistema. La suma del cuadrado de cada uno de esos módulos,- ($|α_0|^{2} + |α_1|^{2} = 1$) -, representa una probabilidad o densidad de probabilidad. Es decir, estos coeficientes $α_i$ son de la forma $z = x + iy$, donde $i = \sqrt{-1}$.

Representación de un Atomo sin Medirlo

Esta unidad básica de información cuántica que se denomina qubit, se verá de similar a un bit, pero a medida que avanzamos veremos que son fundamentalmente diferentes y que esta diferencia permitirá hacer un procesamiento de información nuevo y muchísimo más potente. Por ejemplo, se probó que dada una función $f(x)$, un algoritmo cuántico es capaz de evaluar la función en múltiples valores de x simultáneamente. (Esto no es posible en el sistema tradicional con bits. Ver Desarrollo Algoritmo de Deutsch más adelante).

Desde ya la diferencia con el bit en cuanto al almacenamiento es enorme⁵, dado que el estado de un qubit en Mecánica Cuántica representa niveles de energía de una partícula subatómica y por tanto su almacenamiento físico es en un dispositivo atómico, el cual permite utilizar los múltiples estados en forma simultánea. Es ahí entonces, donde se van guardando los estados intermedios que adquiere el qubit.

De igual modo, la capacidad de ambas unidades básicas de información independientemente de la velocidad, son cuantitativamente diferentes. En efecto, el número de estados que se alcanza al introducir un qubit es exponencial, a diferencia de los estados que se alcanza al introducir un bit. En computación clásica se trabaja con $n$ bits y si se aumenta en un bit, el cambio es a $n+1$ estados de almacenamiento. Es decir, la capacidad de medición física del bit es lineal.

Comportamiento Lineal vs Exponencial

En contraste, en un sistema cuántico si se trabaja con $n$ qubits, al aumentar en $1$ qubit se duplica la información que almacena el estado interno ($2·2^{n} = 2 ^{n+1}$). Es decir, el incremento del número de qubits tiene un efecto de medición física exponencial sobre el número de estados o vectores. Sin contar con los estados en superposición del qubit, que pueden ser infinitos.

Un qubit está sometido a una variabilidad continua dentro del conjunto de estados cuánticos. Al medir ese estado en movimiento, el sistema determinísticamente asume un estado único. Es decir, el proceso de medición le produce un colapso al estado en superposición y converge a uno de esos estados cuánticos. (Ver Medir una Superposición)

Representación de un Atomo Colapsado (Medido)

La relación entre el número de qubits $n \ge 1$ y el número de estados o vectores $m=2^{n}$ define el poder del computador cuántico y la posibilidad de codificar su evolución. Dado que al medir el sistema en superposición, se tiene un número exponencial de estados determinísticos, donde el sistema, - bajo cierta probabilidad_, colapsará a uno de ellos. Más adelante, se mostrará algebraicamente, que los estados cuánticos de qubits múltiples son un producto tensorial de la base canónica {$|0〉,|1〉$}.(ver Estado de Múltiples Qubits)

Por ejemplo con $n=2$ bits, se opera con $2$ estados básicos $|01〉,|10〉$. Mientras que con $n=2$ se cuentan $4$ estados básicos $|00〉,|01〉,|01〉,|11〉$, y con $3$ qubits 8 estados, $4$ qubits 16 estados,...y la serie en potencias de $2$ continúa así sucesivamente. (Ver Eligir Nº Qubits - Simular Amplitudes Aleatoriamente.)

En el párrafo de paralelismo cuántico, - más adelante-, veremos que uno de los efectos más significativos de la aplicación de la superposición cuántica dentro de un algoritmo, justamente se basa en el hecho de poder realizar múltiples operaciones sobre un mismo estado cuántico.

Maurits Cornelis Escher: Peces y Pájaros
Puesto en Superposición sobre Colores

Obviamente, esta propiedad implica un tremendo incremento en la capacidad computacional, dado que se computan secuencias de transformaciones unitarias simultáneas por cada elemento en superposición, generando un procesamiento masivo de datos paralelos.

Nanotecnología, Microelectrónica, Lenguajes conectan al mundo cuántico

y se verifica que $|α_0|^{2} + |α_1|^{2} = 1$, entonces $α_0$ y $α_1$ son amplitudes de probabilidad compleja. De modo que, si $|\alpha_0|^{2}=0.4$ y $|\alpha_1|^{2}=0.6$, esto implica que existe la probabilidad en un 40% de colapsar hacia $|0〉$ y del 60% de que el qubit pudiese colapsar a $|1〉$.

Estado Superposición
Estado Colapso
No es posible observar un qubit en estado de superposición. En el sensible mundo microscópico el observador interviene el sistema. En otras palabras, esto significa que sólo es posible saber el sistema estará en uno de esos probables estados cuando midamos, sin saber con certeza cuál será el resultado9.

Es decir, va a colapsar a uno de los estados básicos dependiendo de la distribución de probabilidad que tenga en ese instante. Considerando que en cada micro-nano-segundo de tiempo, el qubit se encuentra en una superposición de estos estados.

$|\alpha_0|^{2}$: Señala la probabilidad, - cuando se mide -, de encontrar el ket $|ψ〉$ en el estado $|0〉$

$|\alpha_1|^{2}$: Señala la probabilidad, - cuando se mide -, de encontrar el ket $|ψ〉$ en el estado $|1〉$.

La notación de Dirac incluye una operación llamada producto tensorial, denotada como $⊗$. Esto es importante porque en la computación cuántica, un vector de múltiples qubits, es posible descomponerlo como producto tensorial de los dos vectores de estado básico (Ver Estado Producto).

Si definimos dos espacios complejos de dimensión finita $V$ y $W$ de dimensiones $n$ y $m$ respectivamente, en el espacio de Hilbert, con sus bases ortonormales:

{$v_i$}$_{i=0}^{n-1}\quad$ y $\quad${$w_j$}$_{j=0}^{m-1}$

Entonces el producto tensorial entre $V⊗W$, es un espacio que tiene como base:

Atención por que existen vectores en el espacio complejo unitario que no se pueden expresar como producto tensorial de estados básicos. Estos estados se dicen que están entrelazados.(Ver más adelante Estado de Entrelazamiento Cuántico)

En efecto, podemos extender la notación a varios qubits y configurar matemáticamente un sistema cuántico. A continuación se verá que cuando se trata de múltiples qubits, el número de vectores o de estados que se incorporan a la combinación lineal. Si $n$ es el número de qubits entonces los estados que se generan son $2^{n}$, dado que responde a la cantidad de combinaciones que se configuran con los estados básicos {$|0〉, |1〉$}.

Luego, describiendo los vectores múltiples por extensión, tenemos:

$2^{n}$ Estados Cuánticos con $n$ qubits en cada vector:

$$|\underbrace{0 0 0\cdots 0}_{n\text{ veces}}〉|000\text{…}10〉|000\text{…}100〉\text{…}|111...1〉$$
Donde cada uno de estos vectores pertenece a la base canónica $C^{2n}$

Más adelante se describen diferentes notaciones y formas de sintetizar los vectores con múltiples qubits, incluyendo el llamado Producto de Kronecker.

El simulador permite seleccionar el número de qubits (1 a 5), utilizando el listbox. Los cálculos de las amplitudes de probabilidad $\alpha_i$ se van generando dinámicamente. Del mismo modo, más abajo se publica la variación del estado cuántico del ket $|\psi〉$ y el cumplimiento de la regla de densidad de probabilidad ($|α_0|^{2} + |α_1|^{2} = 1$). Al momento de presionar el botón Medir, el sistema va colapsar mostrando el resultado. También admite visualizarlo en una gráfica de barras con la distribución del instante. Para poner en marcha nuevamente el sistema basta con presionar el botón Superponer y continuar probando.

En la simulación antes descrita, se muestra el cálculo, - en forma dinámica-, de los múltiples coeficientes (o amplitudes) de los qubits en los números Reales, a fin de que la suma de sus normas al cuadrado sea igual a $1$.

El algoritmo cuántico va almacenando información de la superposición de los estados que se están generando, los cuales son manipulados mediante transformaciones unitarias. En cierto instante, se colapsa el sistema para extraer información útil del ket $|\psi〉$ resultante.

Este cálculo se realiza de la siguiente forma:

i)   Tomando un conjunto de $2^{n}$ de valores aleatorios en el intervalo $]0,1[⊂R$

ii)   Se normalizan (para que su sumatoria sea igual a 1;

ii)   Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de ellos, de ese modo que ese conjunto de valores, - sean negativos o positivos-, al elevarlos al cuadrado sumen $1$.

Mientras más qubits maneje un procesador cuántico, la potencia de cálculo es de magnitud astronómica. Los experimentos de cálculo realizados hasta hoy con estos aparatos, son capaces de manejar y calcular en segundos estimaciones que en un computador normal demoraría 10.000 años.

En términos computacionales, se estima que las operaciones de coma flotante por segundo de un computador cuántico de 30 qubits equivaldría a un procesador convencional de 10 teraflops. (billones de operaciones en coma flotante por segundo).

Los gigantes de la tecnología como IBM, Google, Intel, Microsof, D-Wave Systems, Laboratorio Nacional de Ciencias de Información Cuántica en Hefei - China, universidades europeas y norteamericanas están experimentando en fase de desarrollo, con computadoras cuánticas de propiedades específicas de 49, 54, 60, 79,..128,.. qubits.

En términos de dimensión de los espacios vectoriales que están generando estas computadoras son de proporciones de escala logarítmica.

Por ejemplo, un estado cuántico $\psi$ del ordenador de $n=79$ qubits, está representado por una combinación Lineal de $m=2^{79}$ vectores. Es decir, $Ln(m)=79·Ln(2)$. Si se estima esta cifra $m$, es la siguiente:

$$Ln(m)= 54,75862726 \qquad \Rightarrow \quad m= 6,04463E+23$$
Dada estas órdenes de magnitud de la dimensión de las bases de estos espacios vectoriales, es que se requiere una notación especial, para poder expresar matemáticamente estas superposiciones y su colapso al medir. A ese efecto, es necesario tratar operaciones complementarias a la notación de Dirac.

En los párrafos "Operación Matricial - Producto Tensorial", se define el producto de Kronecker, en "Expresión Matemática de las Relaciones entre los Qubits" se tratan los estados básicos de las componentes de un qubit, y una descripción que facilita los cálculos y permite análisis dimensional, "Notación Sintética que Señala la Posición del $1$" en un vector canónico.

La normalización significa que cada uno de los valores reales aleatorios del conjunto {$0.34, 0.56 , 0.48, 0.67$}, se divide por su suma $Σ|α_i| = 2.05$ (Ver primera columna de la tabla).

La segunda columna contiene los valores normalizados de la primera columna, $u_i$ normalizados.

En la tercera columna se extrae la raíz cuadrada de cada uno de ellos los $|u_i|$ y se obtiene la amplitud de probabilidad o coeficiente.

En la cuarta columna se sitúan los valores $u_i^{2}$, cuya suma es igual a $1$.

Por tanto, el conjunto de amplitudes de probabilidad o coeficientes reales estimados es:

Dado un $n∈\mathbb{N}$. Sea $m=2^{n}$, entonces el conjunto $A =${$α_1, α_2, α_3,...., α_m$} de $m$ valores seleccionados aleatoriamente, tal que $Σ|α_i|^{2} = 1$ , donde cada $α_i ∈R$ y $0< α_i< 1$ , con $i = 1,2,3,..m$. Se determina, - en este ejemplo en particular-, con las siguientes funciones en javascript:

El hecho de que las probabilidades deben sumar uno, pone algunas restricciones sobre lo que pueden ser los coeficientes o amplitudes en la combinación lineal:

Y dado que los cuadrados de estos coeficientes $α$ y $β$ están relacionados con la probabilidad de obtener un resultado de medición, ellos están limitados por el requisito:

De modo que cuando esta condición es satisfactoria para los cuadrados de los coeficientes de un qubit, se dice que el qubit está normalizado y admite calcular el módulo de estos números de la siguiente manera ¹⁶ :

Representación Gráfica de $z$ y $z^{*}$ ¹⁷

i.    Si $\quad z = 3 - 4i\quad \Rightarrow \quad z^{*}=3+4i,\quad \therefore |z|=\sqrt{5}$

---

ii.     Para el siguiente estado cuántico: $$|ψ〉=(\frac {1+i}{\sqrt{3}})|0〉-\frac {i}{\sqrt{3}}|1〉$$

Si se realiza una medición:

¿ Cuál es la probabilidad que se encuentre el qubit en estado $|0〉$ ?

Respuesta: La probabilidad de que el ket $|ψ〉$ se encuentre en el estado $|0〉$, es el módulo al cuadrado correspondiente a la amplitud de probabilidad o coeficiente parte real $\alpha_0$, asociado a ese vector:

A continuación, el código de una función en javascript para la normalización de un número complejo, ingresado en forma separada su parte real e imaginaria.

<script> function Normaliza_Complejo(z_real,z_imag)

{

/* Se valida previamente que z_real y z_img sea números reales

*/

var modulo=(z_real + z_imag)*(z_real-z_imag)

modulo=Math.abs(modulo)

var raiz_modulo=Math.pow(modulo,0.5)

if (raiz_modulo!=0)

{

var u_real=z_real/raiz_modulo

var u_imag=z_imag/raiz_modulo

if (z_imag >=0)

{

var signo_imag=" + i "

}

else

{

var signo_imag=" - i "

}

}

alert(u_real + signo_imag + Math.abs(u_imag))

}

///// EJEMPLOS

Normaliza_Complejo(33,-15)

Normaliza_Complejo(-7,13)

Normaliza_Complejo(-3,-8)

</script>

En las tablas a continuación se ilustra cómo se normaliza un conjunto de números complejos, a fin de satisfacer el requisito de que la suma de los módulos al cuadrado de las amplitudes de probabilidad de todos los estados posibles es igual a 1.

En este caso de simulación se utilizan números enteros sacados, - tanto la parte real como imaginaria -, aleatoriamente entre -100 y 100. Es decir, $z = x + iy\quad$, donde $\quad x,y \in A\quad$ y $\quad A =${$ n \in \mathbb{Z}\quad/\quad -100<n<100$}.

Superposición Medir 

Nótese que al presionar el botón Medir, colapsa el sistema en el estado básico más probable, de inmediato aparece el botón Superposición que al presionarlo activa la generación de amplitudes de probabilidad dinámicamente y vice versa.

Los coeficientes complejos generados dinámicamente en forma aleatoria en la Tabla#1 se normalizan en $u_i$ en la Tabla#2, y permiten representar el estado de un qubit en superposición. En efecto, valores que pueden describir el comportamiento de un sistema cuántico. El cuadrado del módulo de esta cantidad representa una probabilidad o densidad de probabilidad. La cantidad de $2^{n}$ coeficientes generados se realiza en función del número $n$ de qubits que se está operando.

En general en programación cuántica, se utilizan amplitudes de probabilidad que son equiprobables. Cuando se configuran circuitos con puertas cuánticas y se ejecutan múltiples veces (que es lo usual), las probabilidades tienden a al valor esperado. Es decir, si el número de qubits es $n$, entonces se utilizan uniformemente distribuidos los valores en los coeficientes $α_i=1/\sqrt{n}$. Por ejemplo, la Base de Hadamard (denominada así en honor al matemático francés Jacques Hadamard) en $C^{2}$:

Dada una base ortonormal, cualquier estado puro $|ψ〉$ de los vectores $|0〉$ y $|1〉$ de un sistema cuántico de dos niveles se puede escribir como una superposición de los vectores base, donde el coeficiente o la amplitud de cada vector base es un número complejo. Sin embargo, dado que sólo la fase relativa entre los coeficientes de los dos vectores básicos tiene algún significado físico, podemos tomar el coeficiente de $|0〉$ como real y no negativo.

Complejos Normalizados en Coordenadas Polares

Un número complejo $z = x + iy$  también se representa en coordenadas polares como $z = r (cosΘ + i·senΘ)$. Para ese efecto, se establece un plano cartesiano donde el eje de la ordenadas $Y$ se utiliza para el coeficiente del imaginario $i$ y el eje de las abcisas $X$ para el valor de la parte real. Es decir, inicialmente todo $z \in C$ puede expresarse cartesiana y gráficamente como un par ordenado $(x,y)$ sobre el plano y el vector que va desde el origen hasta esas coordenadas lo llamaremos $\overrightarrow r$.

Representación Gráfica de $z = 3 - i·4$

Sea $z = 3 - i·4$ $|z|^{2} = x^{2} + y^{2} = 3^{2} + (-4)^{2} = 25$ $|z|=\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ $|z| = \sqrt{25} = 5$ $u =\frac{3}{5} - i\frac{4}{5} \Rightarrow |u|^{2}=1$ $tan(\Theta)=\frac {x}{y}$ , donde   $x = r·cos(Θ) , y = r·sin(Θ)$ $Θ=tan^{-1}(\frac{x}{y})=tan^{-1}(\frac{-3}{4})=-0.643501109 $ $∴\quadΘ = -0.643501109$ $\Rightarrow Θ=2π- 0.643501109 = 5.63$ $\Rightarrow\quad u = cos(5.63)+ i·sin(5.63)$ $\Rightarrow\quad u = e^{iΘ} = e^{i(5.63)}$

Nótese que al normalizar un número complejo $z$ en su forma polar o bajo la fórmula de Euler¹⁸ $u = e^{iΘ}=cosΘ + i·senΘ$, nos aseguramos que $|u|^{2}=cos^{2}Θ + sen^{2}Θ=1$. Es decir, que la suma de los módulos al cuadrado de las amplitudes de probabilidad de todos los estados posibles es igual a 1.

De esta forma podemos trabajar los estados de los qubits sobre el círculo unitario, que es de radio 1, centrado en el origen (0, 0) sobre el plano Cartesiano. Este sistema se puede generalizar y extender a tres dimensiones. (Ver Esfera de Bloch y IBM Gates Glossary).

La representación esférica de Bloch sólo sirve para describir qubits individuades en un espacio tridimensional, pero no para comprender lo que pasa con múltiples qubits, dado que no puede mostrar entrelazamientos.

Círculo Unitario 2D Complejos Forma Polar

Esfera de Bloch19

Bit vs. Qubit
Superposicion-Simuladores Reales y Complejos

Capítulos extraídos del Documento de Base:
Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica