Método de Montecarlo
Amplitudes Equiprobables
Puerta Cuántica de Hadamard
v.1.9/Enero 2021

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Conceptos extraído del Documento de Base:
Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica

José Enrique González Cornejo



Textos y temas extraídos del documento Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica, a fin de estimar probalísticamente la Amplitud de Probabilidad 4 o coeficiente de la Puerta Cuántica de Hadamard. La tarea es buscar una representación matemática mediante el método de cálculo de aproximación Método de Montecarlo59. Antes, se especificará que el primer postulado de la Teoría Cuántica señala que todo estado de un sistema físico está relacionado con el principio de superposición. Se repasará el concepto asociado a un qubit corresponde a un sistema físico que tiene dos estados ortogonales, las combinaciones lineales con un simulador aleatorio que genera amplitudes de probabilidad, las propiedades de la transformación unitaria de Hadamard y se finaliza aplicando un modelo de simulación interactivo con el Método de Montecarlo para estimar el coeficiente equiprobable de los vectores de la Base de Hadamard104.



Objetivo

La figura muestra una imagen del simulador, con el cual se cierra y sintetiza el presente artículo. La interfaz contiene un programa computacional con una rutina que mide las amplitudes de probabilidad de los vectores de la Base de Hadamard $\unicode{123}|+〉,|-〉\unicode{125}$, mediante el Método de Montecarlo, a fin de demostrar que se distribuyen equiprobablemente ambos estados.

Fig. Simulador Método Montecarlo ~ Amplitud de Probabilidad de Hadamard

El simulador permite probar en repetitivas mediciones, - con diferentes números de significativa magnitud de hasta de 100.000.000 de ensayos- , generados por números aleatorios. Aproximando en el límite el comportamiento del coeficiente común ($\frac{1}{\sqrt{2}}$) de los estados básicos de la Puerta de Hadamard. Es decir, el usuario puede calcular aleatoriamente los estimadores $\hat \alpha_1 \text{ y } \hat \alpha_2$ de la combinación lineal $\psi = \alpha_1|0〉+\alpha_2|1〉$, como también el comportamiento de las parámetros asociados y la variabilidad del error. Así mismo, puede observar estos resultados en un tabla dinámica que los va almacenando durante los ensayos.

Se comprobará que este proceso estocástico de secuencias de números aleatorios que se repite en cada ensayo, depende de una secuencia de números que van arrojando resultados diferentes (o no idénticos) durante la simulación. Efectivamente, son secuencias diferentes de números aleatorios. Sin embargo, los valores del resultado de cada ensayo se mantienen acorde y conservan la tendencia.

$$nTest\longrightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad \epsilon \longrightarrow 0$$

Introducción

El primer postulado de la Teoría Cuántica señala que todo estado de un sistema físico está representado por un vector de un determinado espacio vectorial, en nuestro caso será el Espacio de Hilbert, - y que este sistema está relacionado con el principio de superposición.

  $\longleftarrow$

Simulador Moneda Girando10


Para analizar estos sistemas es necesario involucrar todos los aspectos que intervienen en su conformación, junto con el objetivo. De ahí que la tarea es representar matemáticamente elaborando un método de cálculo de aproximación a la fascinante simpleza, que aparenta ser, la equiprobabilidad de los estados cuánticos de Hadamard.

Qubit, Superposición y Hadamard

Un qubit corresponde a un sistema físico que tiene dos estados ortogonales, que denotamos de acuerdo a la Notación de Dirac1 con los estados básicos $|0〉$ y $|1〉$.

Es decir, un qubit puede también encontrarse en una Superposición de los estados $|0〉$ y $|1〉$, representado como una combinación lineal de los vectores de base, de la forma:

$$\psi = \alpha_1|0〉+\alpha_2|1〉\qquad\quad[A]$$
Estos coeficientes $\alpha_1$ y $\alpha_2$, son denominados amplitud de probabilidad, los cuales son números complejos que se utilizan para describir el comportamiento del sistema. La suma del cuadrado de cada uno de esos módulos, representa una probabilidad o densidad de probabilidad, determinados por el postulado siguiente:

$$|\alpha_1|^{2} + |\alpha_2|^{2}=1\qquad\quad[B]$$
La Puerta de Hadamard simplemente aplica la densidad de probabilidad $[B]$ de forma que sus estados son equiprobables. Hadamard es la transformación unitaria,- que yo llamaría el símbolo de las superposiciones -, que actúa sobre un único qubit.

$$(\frac {1}{\sqrt{2}})^{2} + (\frac {1}{\sqrt{2}})^{{2}}=1\qquad$$
y el estado cuántico

$$\psi =\frac {1}{\sqrt{2}}|0〉 ± \frac {1}{\sqrt{2}}|1〉\qquad $$
Es decir,

$$ H|x〉= \begin{cases} \frac {1}{\sqrt{2}}(|0〉+|1〉), & \text{ (+) } x=0 \\ \frac {1}{\sqrt{2}}(|0〉-|1〉), & \text{ (-) } x=1 \end{cases} $$

La transformación unitaria de Hadamard es un objeto prácticamente ineludible en los algoritmos cuánticos y en la programación de sus circuitos. En efecto, al aplicar el operador $H$ produce que un qubit pase de un estado básico, $|0〉$ o $|1〉$, a un estado de superposición equiprobable de ambos estados. Ahora, si se aplica $H$ a un conjunto de varios qubits se logra que el sistema también entre en un estado de superposición equiprobable de todos los estados propios del sistema cuántico. En programación cuántica, cuando se configuran circuitos con puertas cuánticas y se ejecutan múltiples veces (que es lo usual), las probabilidades tienden al valor esperado.


Circuito Estado de Bell ~ Entrelazamiento Cuántico ~ 2-qubit

Ya hemos visto, tanto en el documento de base central "Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica" como en sus videos asociados, que cuando comenzamos a construir un algoritmo cuántico, se establece un conjunto de qubits de inicialización en estado cero para cada cable respectivo, preparando el circuito para introducir los estados en superposición equiprobable con la Puerta Cuántica de Hadamard.


       
q[0]=0


q[1]=0


q[2]=0


q[3]=0


q[4]=1


       
Superposición ~ Producto Tensorial de Hadamard Idea Superposición ~ Producto Tensorial de Hadamard

Nótese que la superposición generada tiene tremenda potencia, dado que las puertas cuánticas de Hadamard en paralelo se multiplican tensorialmente entre ellas. Justamente esta propiedad de transformar los estados intermedios y procesarlos de manera paralela es lo que marca la diferencia entre la computación clásica y la computación cuántica.

Obviamente, esta propiedad implica un significativo incremento en la capacidad computacional, dado que se computan secuencias de transformaciones unitarias simultáneas por cada elemento en superposición, generando un procesamiento masivo de datos paralelos.

Si se aplica el producto tensorial $⊗$ con $H$ sobre vectores de varios qubits (operador de Walsh-Hadamard), utilizando la notación en $n$, descrita previamente en Modo Numérico de Representar los Vectores Unitarios. Este producto tensorial con Hamadard, se describe mediante la siguiente expresión:

$$H ⊗ H ⊗ H ⊗\cdots H |\underbrace{0 0 0\cdots 0}_{n\text{ veces}}〉=\frac {1}{\sqrt{2^{n}}}\sum_{x=0}^{2n-1} |x〉\\ x\in \unicode{123}0,1,2\cdots ,2n-1\unicode{125}$$   


La transformada de Hadamard puede considerarse también como construida a partir de transformadas discretas de Fourier.


Mostraremos el Método de Montecarlo, dado que si se visualiza el generador aleatorio de coeficientes que cumplen con las ecuaciones rotuladas previamente con $[A]$ y $[B]$:

$$\psi = \alpha_1|0〉+\alpha_2|1〉$$
$$\alpha_1^{2} + \alpha_2^{2}=1$$

Las amplitudes de probabilidad al cuadrado señalan la probabilidad de colapsar hacia el estado básico $|0〉$ o hacia el estado $|1〉$ al momento de medir.


Ejemplo de Colapso a un Estado Básico


$$\alpha_1^{2}\longrightarrow P_r(|0〉)\quad \text{ y }\quad\alpha_2^{2}\longrightarrow P_r(|1〉)$$

Ya sabemos que no es posible observar un qubit en estado de superposición. En el sensible mundo microscópico el observador interviene el sistema. En otras palabras, esto significa que sólo es posible saber el sistema estará en uno de esos probables estados cuando midamos, sin saber con certeza cuál será el resultado

Por eso, primero observemos el comportamiento de un simulador cuyos resultados, después de múltiples mediciones, nos prepara para comprender los estados equiprobables de Hadamard y la aproximación que realizaremos a su coeficiente aplicando el Método de Montecarlo en la parte final del presente artículo.

La propiedad Equiprobable dentro de un espacio muestral, es que todos los elementos que conforman ese universo tienen igual posibililidad de ser elegidos. Es decir, cada elemento tiene la misma probabilidad de ocurrencia.


Eligir Nº Qubits - Simular Amplitudes Aleatoriamente15

El simulador permite seleccionar el número de qubits (1 a 5), utilizando el listbox. Los cálculos de las amplitudes de probabilidad $\alpha_i$ se van generando dinámicamente. Del mismo modo, más abajo se publica la variación del estado cuántico del ket $|\psi〉$ y el cumplimiento de la regla de densidad de probabilidad ($|α_0|^{2} + |α_1|^{2} = 1$). Al momento de presionar el botón Medir, el sistema va colapsar mostrando el resultado. También admite visualizarlo en una gráfica de barras con la distribución del instante. Para poner en marcha nuevamente el sistema basta con presionar el botón Superponer y continuar probando.



Frame con Rutina de Simulación Amplitudes Aleatorias en $R$


En la simulación antes descrita, se muestra el cálculo, - en forma dinámica-, de los múltiples coeficientes (o amplitudes) de los qubits en los números Reales, a fin de que la suma de sus normas al cuadrado sea igual a $1$.

El algoritmo cuántico va almacenando información de la superposición de los estados que se están generando, los cuales son manipulados mediante transformaciones unitarias. En cierto instante, se colapsa el sistema para extraer información útil del ket $|\psi〉$ resultante.

Este cálculo se realiza de la siguiente forma:

    i)   Tomando un conjunto de $2^{n}$ de valores aleatorios en el intervalo $]0,1[⊂R\quad, \text{ donde } n\in N$ es el número de qubits.

    ii)   Se normalizan (para que su sumatoria sea igual a 1).

    ii)   Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de ellos, de ese modo que ese conjunto de valores, - sean negativos o positivos-, al elevarlos al cuadrado sumen $1$.


Puerta Cuántica de Hadamard y Estados Equiprobables

La puerta de Hadamard es muy importante y consecuentemente utilizada en los algoritmos de la computación cuántica, porque se presta para ir aprovechando las ventajas de manejo de la evolución de los estados en superposición, hasta llegar a un lugar que medir esa superposición sea útil para contribuir a solucionar el resultado del algoritmo en cuestión.


IBM Circuit Composer ~ Resultados de $H|0〉$

Hadamard es una puerta de un qubit muy apropiada para generar superposición equiprobable, donde no se favorece ninguno de los estados básicos. Nótese que toma un estado básico de un qubit y lo transforma en un combinación lineal de dos vectores. Es decir, de uno saca dos explicados por el coeficiente común $\frac {1}{\sqrt{2}}$, configurando una superposición equiprobable.

La puerta de Hadamard simplificó la distribución probabilística asignando a las amplitudes de probabilidad de la ecuación $[A]$, exactamente la mitad a cada uno, de modo que cumpliera con el postulado de la ecuación $[B]$. Es decir, aplicar la puerta de Hadamard a cualquiera de los estados básicos devuelve una superposición equiprobable.

La puerta de Hadamard, se puede representar bajo diferentes expresiones matemáticas:

- Definida por la matriz (unitaria): $$ H=\frac {1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} $$

- Situando su operación más visual sobre la Esfera de Bloch, con coordenadas polares:

$$ |\psi〉=cos(\frac {\theta}{2})|0〉+ e^{iφ}(\sin(\frac {\theta}{2})|1〉 $$


$H$  ibm quantum experience-fuente gates glossary

Esto implica que se produce una rotación sobre el eje $y$ de un ángulo $\frac{π}{2}$ e inmediatamente otra rotación de un ángulo $π$ sobre $x$. La transformación de Hadamard opera paralelismos masivos. (i.e con $n \in N$ qubits se generan superposiciones de $2^{n}$ estados cuánticos, como combinaciones lineales de $|0〉$ y $|1〉$).

Nótese que al normalizar un número complejo $z$ en su forma polar o bajo la fórmula de Euler18 $u = e^{iΘ}=cosΘ + i·senΘ$, nos aseguramos que $|u|^{2}=cos^{2}Θ + sen^{2}Θ=1$. Es decir, que la suma de los módulos al cuadrado de las amplitudes de probabilidad de todos los estados posibles es igual a $1$.

Más adelante se verá el capítulo correspondiente a la Transformada Cuántica de Fourier, donde la Puerta Cuántica de Hadamard expresada en coordenadas polares permitirá facilitar la resolución del circuito con el algoritmo de factorización de Shor.

Obsérvese en el documento central, que la Puerta de Hadamard es un combinación lineal de las Transformaciones de Pauli, las que constituyen un Algebra de Lie. (Ver Algebra de Lie ~ Puertas de Pauli).

$$H=\frac{1}{2}(X + Z)$$


La medición de las amplitudes de probabilidad de los vectores de la Base de Hadamard $\unicode{123}+,-\unicode{125}$ mediante el Método de Montecarlo, demuestra que son equiprobables.

$$|+〉=H|0〉=\frac {1}{\sqrt{2}}(|0〉+|1〉)$$
$$|-〉=H|1〉=\frac {1}{\sqrt{2}}(|0〉+|1〉)$$

En efecto, los coeficientes descritos en $[B]$ se aproximan a $\frac{1}{\sqrt{2}}$ cuando se tiene un gran número de mediciones aleatorias consecutivas.

Hadamard y Método de Montecarlo

Sea $Ntest \in N$ tal que $Ntest\geqslant 10^{3}$ el número de mediciones aleatorias que realizaremos y sea $rnd \in ]0,1[$ el valor Real aleatorio que se genera en cada medición. Entonces con este criterio separamos los dos estados posibles. Nótese que todos los puntos están dentro del modelo, dado que cada punto aleatorio que se genera cae al interior una de las áreas definidas en el experimento:

$$ rdn = \begin{cases} \lt 1/2, & \text{ (i) } n_1=n_1+1 \\ \gt 1/2, & \text{ (ii) } n_2=n_2+1 \end{cases} $$
De modo que cada estimador del coeficiente $\hat\alpha_i^{2}$, se le asigna la proporción $n_i/Ntest$, i.e.

$$\hat\alpha_i^{2}\longrightarrow \frac{n_i}{Ntest}\text{, }\qquad \text{ donde } i=1,2$$


 <script language='javascript'>

  function Distribucion_Aleatoria(Ntest)
  {
       var n1=0;
       var n2=0;

       for(var i=1;i<=Ntest;i++)
       {
       var Area_In=(1/2);
       var nRandom=Math.random();
          if(nRandom<Area_In)
           {
            n1=n1+1;
           }
          else
           {
            n2=n2+1;
           }
   }

          alert((n1/Ntest)+ " ~ " +    (n2/Ntest))
 }

Distribucion_Aleatoria(1000000);

 </script>
Javascript con Distribución Aleatoria

Este hecho, de apariencia trivial que se muestra en la animación gráfica que se realiza aplicando el método numérico expresado en la rutina de la función javascript "Distribucion_Aleatoria(Ntest)", - sobre un cuadrado de área $1$ -, dividido en la mitad.

A partir de esos resultados, se evalúa la proporción de $n_1$ y $n_2$ sobre el total de mediciones que arroja puntos sobre ese espacio. La distribución de los hits producirá una solución cada vez más aproximada de los coeficientes de [B] en la medida que el tamaño de las pruebas múltiples es de mayor magnitud, y consecuentemente cuyo error absoluto de la estimación irá decreciendo. (El Método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como $\frac {1}{\sqrt {Ntest}}$ en virtud del Teorema Central del Límite74).

En efecto, el experimento se caracteriza por ser dicotómico y demostrará que el 50% de los puntos caen dentro de una se las subareas del modelo. Obviamente, cuantos más puntos se generen, menor será el error de la estimación.




A continuación un simulador, que demuestra que cada vez que se selecciona una opción más grande de tamaño de la muestra $Ntest$, desde el ListBox. Es así que la resultante del experimento, va aproximando el error $\epsilon \longrightarrow 0$, permitiendo demostrar mediante el Método de Montecarlo que los vectores de la base de Hadamard son equiprobables.


Simulador Método de Montecarlo
Amplitud de Probabilidad de Hadamard
 
Ntest $n_1\\$
$$rdm<0.5$$
$$\hatα_1^{2}\longrightarrow 0.5$$ $n_2\\$
$$rdm>=0.5$$
$$\hatα_2^{2}\longrightarrow 0.5$$

$|\frac{1}{\sqrt{2}}-\hatα_1|\approx|\frac{1}{\sqrt{2}}-\hatα_2|=\epsilon$=?

$\epsilon$$\frac {1}{\sqrt{Ntest}}$=

Donde $\hatα_1=$?    y   $\hatα_2=$?



Tabla Dinámica de Almacenamiento de Ensayos Realizados
NTest$\hat \alpha_1$$\hat \alpha_2$$\epsilon$









Expresiones Matemáticas Rotuladas en el Artículo

$[A]$: $\alpha_1|0〉+\alpha_2|1〉$. Expresión Matemática de un Sistema Cuántico que representa la Superposición de los estados $|1〉$ y $|0〉$. Es decir, como una combinación lineal de los vectores de base. Estos coeficientes $α_i$, son denominados amplitud de probabilidad, los cuales son números complejos.

$[B]$: $|α_1|^{2} + |α_2|^{2} = 1$. Condición que se debe cumplir, a fin que la suma de probabilidades debe ser siempre igual a 1, i.e. la suma del cuadrado de cada uno de esos módulos, representa una probabilidad o densidad de probabilidad. Es decir, estos coeficientes $α_i$ son de la forma $z = x + iy$, donde $i = \sqrt{-1}$.




Notas Complementarias Adjuntas







Videografía y Bibliografía

  • [B1]
    Quantum Computation 5: A Quantum Algorithm
    David Deutsch, Autor del Algoritmo
    Centre for Quatum Computation
    https://www.youtube.com/watch?v=3I3OBFlJmnE

  • [B2]
    Curso Computación Cuántica
    Eduardo Sáenz de Cabezón
    26 abril 2019
    Instituto de Matemáticas de la UNAM, México
    https://www.youtube.com/watch?v=KKwjeJzKezw

  • [B3]
    Quantum Optics
    Miguel Orszag,
    Pontificia Universidad Católica - Santiago de Chile
    Editorial Springer ~ 2016


  • [B4]
    Quantum Optics - Mark Fox - Oxford University Press
    22 jun. 2006 - Oxford Master Series in Physics.
    Capítulo 13
    https://www.academia.edu/24696066/Fox_M_Quantum_optics_an_introduction

  • [B5]
    Quantum Computing Explain
    David McMahon on 2007
    WILEY-INTERSCIENCE
    A John Wiley & Sons, Inc., Publication
    https://www.academia.edu/31537353/_David_McMahon_Quantum_Computing_Explained_BookFi_1_

  • [B6]
    Programming a Quantum Computer with Cirq (QuantumCasts)
    Dave Bacon
    Google

  • [B7]
    The Quantum World ~ Quantum Physics for Everyone
    Kenneth W. Ford
    Harvard University Press
    Cambridge Massachusetts
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    Principios Fundamentales de Computación cuántica
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    Profesor Titular de Universidad. Senior Member, IEEE.
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    Vlatko Vedral, Adriano Barenco and Artur Ekert
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    (Submitted to Phys. Rev. A)
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    Michael Nielsen on June 10, 2011
    http://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/
    https://www.youtube.com/watch?v=x6gOp_o7Bi8

  • [B11]
    QC — Quantum Algorithm with an example
    Jonathan Hui
    Dec 6, 2018
    https://medium.com/@jonathan_hui/qc-quantum-algorithm-with-an-example-cf22c0b1ec31

  •  
  • [B12]
    [W] Wikipedia
    Consultas a Wikipedia de múltiples conceptos relacionados a la Mecánica y Computación Cuántica
    https://en.wikipedia.org

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    Programación Cuántica
    Francisco Gálvez
    T3chFest 2017
    IBM
    https://www.youtube.com/watch?v=FYAkeCcOgeQ

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    Quantum Computation (CMU 18-859BB, Fall 2015)
    Lecture 1: Introduction to the Quantum Circuit Model
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    Lecturer: Ryan O’Donnell Scribe: Ryan O’Donnell

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    Hipertexto: Tratamiento Documental de Datos
    José Enrique González Cornejo
    Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación,
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    Algoritmo para el Cambio de Base Numérica
    José Enrique González Cornejo
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  • [B17]
    Algoritmo, Generación Distribución Aleatoria Discreta de Suma 1
    José Enrique González Cornejo
    11 de julio 2012
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy https://www.docirs.cl/Algoritmo_Distribucion_Aleatoria.htm

  • [B18]
    Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación Modelo de Variables Discretas
    José Enrique González Cornejo
    01 de agosto 2019
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B19]
    Problema de la Ruta Optima
    José Enrique González Cornejo
    01 de mayo 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B20]
    Nomenclatura DocIRS para la Programación
    José Enrique González Cornejo
    24 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B21]
    Acerca del Estilo en Programación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B22]
    Acerca de la Calidad de una Aplicación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B23]
    Fundamentos Teóricos de los Lenguajes Estructurados
    José Enrique González Cornejo
    12 de julio de 2011
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B24]
    Propiedades Geométricas Cualitativas
    José Enrique González Cornejo
    15 de marzo 1997
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B25]
    Lunch & Learn: Quantum Computing
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University of New South Wales Australia
    21 nov. 2018

  • [B26]
    21 Lessons for the 21st Century
    Talks at Google
    Yuval Noah Harari 11 octubre 2018


  • [B27]
    Homo-Deus-A-Brief-History-of-Tomorrow
    Universidad de California,
    Yuval Noah Harari
    27 febrero 2017

  • [B28]
    MIND BLOWN: Quantum Computing & Financial Arbitrage
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University of New South Wales Australia
    18 jun. 2020

  • [B29]
    Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en GAMA
    M. Paredes López - A. Meneses Viveros - G. Morales-Luna
    Departamento de Matemáticas, Cinvestav, Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Departamento de Computación, Cinvestav, Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Rev. mex. fís. E vol.64 no.2 México jul./dic. 2018

  • [B30]
    Principios Fundamentales de Computación Cuántica
    2013, Vicente Moret Bonillo
    Universidad de la Coruña-España

  • [B31]
    Informática Cuántica - Parte 1
    Tecnologias Disruptivas
    Alejandro Alomar
    9 jul. 2018
    https://www.youtube.com/watch?v=SisRIgS3oO4

  • [B32]
    Computación Cuántica para Torpes
    Publicado el 26 de septiembre de 2016 por Sergio Montoro
    https://lapastillaroja.net/2016/09/computacion-cuantica/

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    Intro to Quantum Computing
    Steve Spicklemire
    Lesson 38 Quantum Computing, Deutsch's Problem

  • [B34]
    Learn Quantum Computation using Qiskit
    Page created by The Jupyter Book Community
    Qiskit Development Team Last updated on 2020/07/17.

  • [B35]
    Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM
    Francisco R. Villatoro (Francis Naukas)
    2 noviembre, 2018
    https://francis.naukas.com/2018/11/02/disfruta-de-la-experiencia-cuantica-de-ibm/

  • [B36]
    Inversión de Matrices de Números Complejos
    reshish.com 2011 - 2020
    https://matrix.reshish.com/es/multCalculation.php

  • [B37]
    Algoritmo de Deutsch
    13 octubre 2016
    Felipe Fanchini
    https://www.youtube.com/watch?v=Sb5WRs8XUuU

  • [B38]
    Desarrollo de un simulador para el protocolo de criptografía cuántica E91 en un ambiente distribuido
    Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015
    Luis Cáceres Alvarez, Roberto Fritis, Palacios, Patricio Collao Caiconte

  • [B39]
    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
    0999377
    MSc. Human Technology Interaction
    Department of Innovation Sciences
    Eindhoven University of Technology
    August 2018

  • [B40]
    Así Cambiará el Mundo la Computación Cuántica
    2016
    Ignacio Cirac
    https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM

  • [B41]
    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

  • [B42]
    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
    American Mathematical Society.
    Accessible Math in All Browsers


  • [B43]
    El Algoritmo de Deutsch-Jozsa
    KET.G
    25 mar. 2020
    Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG


  • [B44]
    Apuntes de Grupos de Lie
    Badajoz, 30 de diciembre de 2017
    Volumen 3
    1.2. Grupos de Lie

  • [B45]
    Teoria de Grupos
    Marshall Hall jr.
    Bibioteca de Matemática Superior
    1967 Maximilian Company, N.Y. USA

  • [B46]
    Tutorial Grupos de Lie
    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

  • [B47]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    Enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B48]
    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli

  • [B49]
    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
    Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
    29 de julio de 2020

  • [B50]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
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