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Método de Montecarlo
Amplitudes Equiprobables
Puerta Cuántica de Hadamard
v.1.9/Enero 2021
Textos y temas extraídos del documento Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica, a fin de estimar probilísticamente la Amplitud de Probabilidad 4 o coeficiente de la Puerta Cuántica de Hadamard. La tarea es buscar una representación matemática mediante el método de cálculo de aproximación Método de Montecarlo59. Antes, se especificará que el primer postulado de la Teoría Cuántica señala que todo estado de un sistema físico está relacionado con el principio de superposición. Se repasará el concepto asociado a un qubit corresponde a un sistema físico que tiene dos estados ortogonales, las combinaciones lineales con un simulador aleatorio que genera amplitudes de probabilidad, las propiedades de la transformación unitaria de Hadamard y se finaliza aplicando un modelo de simulación interactivo con el Método de Montecarlo para estimar el coeficiente equiprobable de los vectores de base de Hadamard. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Objetivo La figura muestra una imagen del simulador, con el cual se cierra y sintetiza el presente artículo. La interfaz contiene un programa computacional con una rutina que mide las amplitudes de probabilidad de los vectores de la Base de Hadamard $\unicode{123}|+〉,|-〉\unicode{125}$, mediante el Método de Montecarlo, a fin de demostrar que se distribuyen equiprobablemente ambos estados.
El simulador permite probar en repetitivas mediciones, - con diferentes números de significativa magnitud de hasta de 60.000.000 de ensayos- , generados por números aleatorios. Aproximando en el límite el comportamiento del coeficiente común ($\frac{1}{\sqrt{2}}$) de los estados básicos de la Puerta de Hadamard. Es decir, el usuario puede calcular aleatoriamente los estimadores $\hat \alpha_1 \text{ y } \hat \alpha_2$ de la combinación lineal $\psi = \alpha_1|0〉+\alpha_2|1〉$, como también el comportamiento de las parámetros asociados y la variabilidad del error. Así mismo, puede observar estos resultados en un tabla dinámica que los va almacenando durante los ensayos. $$nTest\longrightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad \epsilon \longrightarrow 0$$ |
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Introducción
Para analizar estos sistemas es necesario involucrar todos los aspectos que intervienen en su conformación, junto con el objetivo. De ahí que la tarea es representar matemáticamente elaborando un método de cálculo de aproximación a la fascinante simpleza, que aparenta ser, la equiprobabilidad de los estados cuánticos de Hadamard.
Es decir, un qubit puede también encontrarse en una Superposición de los estados $|0〉$ y $|1〉$, representado como una combinación lineal de los vectores de base, de la forma:
$$(\frac {1}{\sqrt{2}})^{2} + (\frac {1}{\sqrt{2}})^{{2}}=1\qquad$$
La transformación unitaria de Hadamard es un objeto prácticamente ineludible en los algoritmos cuánticos y en la programación de sus circuitos. En efecto, al aplicar el operador $H$ produce que un qubit pase de un estado básico, $|0〉$ o $|1〉$, a un estado de superposición equiprobable de
ambos estados. Ahora, si se aplica $H$ a un conjunto de varios qubits
se logra que el sistema también entre en un estado de superposición equiprobable de todos los estados propios del sistema cuántico. En programación cuántica, cuando se configuran circuitos con puertas cuánticas y se ejecutan múltiples veces (que es lo usual), las probabilidades tienden al valor esperado.
![]() Circuito Estado de Bell ~ Entrelazamiento Cuántico ~ 2-qubit Ya hemos visto, tanto en el documento de base central "Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica" como en sus videos asociados, que cuando comenzamos a construir un algoritmo cuántico, se establece un conjunto de qubits de inicialización en estado cero para cada cable respectivo, preparando el circuito para introducir los estados en superposición equiprobable con la Puerta Cuántica de Hadamard.
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Nótese que la superposición generada tiene tremenda potencia, dado que las puertas cuánticas de Hadamard en paralelo se multiplican tensorialmente entre ellas. Justamente esta propiedad de transformar los estados intermedios y procesarlos de manera paralela es lo que marca la diferencia entre la computación clásica y la computación cuántica.
Si se aplica el producto tensorial $⊗$ con $H$ sobre vectores de varios qubits (operador de Walsh-Hadamard), utilizando la notación en $n$, descrita previamente en Modo Numérico de Representar los Vectores Unitarios. Este producto tensorial con Hamadard, se describe mediante la siguiente expresión:
![]() La transformada de Hadamard puede considerarse también como construida a partir de transformadas discretas de Fourier. |
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Mostraremos el Método de Montecarlo, dado que si se visualiza el generador aleatorio de coeficientes que cumplen con las ecuaciones rotuladas previamente con $[A]$ y $[B]$:
$$\psi = \alpha_1|0〉+\alpha_2|1〉$$
Las amplitudes de probabilidad al cuadrado señalan la probabilidad de colapsar hacia el estado básico $|0〉$ o hacia el estado $|1〉$ al momento de medir.
![]() Ejemplo de Colapso a un Estado Básico
$$\alpha_1^{2}\longrightarrow P_r(|0〉)\quad \text{ y }\quad\alpha_2^{2}\longrightarrow P_r(|1〉)$$
Eligir Nº Qubits - Simular Amplitudes Aleatoriamente15
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Simulador Método de Montecarlo Amplitud de Probabilidad de Hadamard |
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Ntest | $n_1\\$ $$rdm<0.5$$ |
$$\hatα_1^{2}\longrightarrow 0.5$$ | $n_2\\$ $$rdm>=0.5$$ |
$$\hatα_2^{2}\longrightarrow 0.5$$ |
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$|\frac{1}{\sqrt{2}}-\hatα_1|\approx|\frac{1}{\sqrt{2}}-\hatα_2|=\epsilon$=?
$\epsilon$$\frac {1}{\sqrt{Ntest}}$= Donde $\hatα_1=$? y $\hatα_2=$? |
Tabla Dinámica de Almacenamiento de Ensayos Realizados |
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Nº | NTest | $\hat \alpha_1$ | $\hat \alpha_2$ | $\epsilon$ |
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Expresiones Matemáticas Rotuladas en el Artículo
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Notas Complementarias Adjuntas
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Videografía y Bibliografía Quantum Computation 5: A Quantum Algorithm David Deutsch, Autor del Algoritmo Centre for Quatum Computation https://www.youtube.com/watch?v=3I3OBFlJmnE Curso Computación Cuántica Eduardo Sáenz de Cabezón 26 abril 2019 Instituto de Matemáticas de la UNAM, México https://www.youtube.com/watch?v=KKwjeJzKezw Quantum Optics Miguel Orszag, Pontificia Universidad Católica - Santiago de Chile Editorial Springer ~ 2016 Quantum Optics - Mark Fox - Oxford University Press 22 jun. 2006 - Oxford Master Series in Physics. Capítulo 13 https://www.academia.edu/24696066/Fox_M_Quantum_optics_an_introduction Quantum Computing Explain David McMahon on 2007 WILEY-INTERSCIENCE A John Wiley & Sons, Inc., Publication https://www.academia.edu/31537353/_David_McMahon_Quantum_Computing_Explained_BookFi_1_ Programming a Quantum Computer with Cirq (QuantumCasts) Dave Bacon The Quantum World ~ Quantum Physics for Everyone Kenneth W. Ford Harvard University Press Cambridge Massachusetts London England ~ 2004 Principios Fundamentales de Computación cuántica Vicente Moret Bonillo Profesor Titular de Universidad. Senior Member, IEEE. Departamento de Computación. Facultad de Informática. Universidad de la Coruña 2O13 Quantum Networks for Elementary Arithmetic Operations Vlatko Vedral, Adriano Barenco and Artur Ekert Clarendon Laboratory, Department of Physics University of Oxford, Oxford, OX1 3PU, U.K. (Submitted to Phys. Rev. A) 16 de Noviembre 1995 Quantum computing for the determined Michael Nielsen on June 10, 2011 http://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/ https://www.youtube.com/watch?v=x6gOp_o7Bi8 QC — Quantum Algorithm with an example Jonathan Hui Dec 6, 2018 https://medium.com/@jonathan_hui/qc-quantum-algorithm-with-an-example-cf22c0b1ec31 [W] Wikipedia Consultas a Wikipedia de múltiples conceptos relacionados a la Mecánica y Computación Cuántica https://en.wikipedia.org Programación Cuántica Francisco Gálvez T3chFest 2017 IBM https://www.youtube.com/watch?v=FYAkeCcOgeQ Quantum Computation (CMU 18-859BB, Fall 2015) Lecture 1: Introduction to the Quantum Circuit Model September 9, 2015 Lecturer: Ryan O’Donnell Scribe: Ryan O’Donnell Hipertexto: Tratamiento Documental de Datos José Enrique González Cornejo Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación, CIDE, Santiago – Chile, 1990. Registro Nº81.183 - 1991 ~ Editoria Argué Ltda Algoritmo para el Cambio de Base Numérica José Enrique González Cornejo DocIRS Technology Junio 2014 https://www.docirs.cl/algoritmo_cambio_base.htm Algoritmo, Generación Distribución Aleatoria Discreta de Suma 1 José Enrique González Cornejo 11 de julio 2012 DocIRS Technology https://www.docirs.cl/Algoritmo_Distribucion_Aleatoria.htm Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación Modelo de Variables Discretas José Enrique González Cornejo 01 de agosto 2019 DocIRS Technology Problema de la Ruta Optima José Enrique González Cornejo 01 de mayo 2009 DocIRS Technology Nomenclatura DocIRS para la Programación José Enrique González Cornejo 24 de abril 2009 DocIRS Technology Acerca del Estilo en Programación José Enrique González Cornejo 18 de abril 2009 DocIRS Technology Acerca de la Calidad de una Aplicación José Enrique González Cornejo 18 de abril 2009 DocIRS Technology Fundamentos Teóricos de los Lenguajes Estructurados José Enrique González Cornejo 12 de julio de 2011 DocIRS Technology Propiedades Geométricas Cualitativas José Enrique González Cornejo 15 de marzo 1997 DocIRS Technology Lunch & Learn: Quantum Computing Andrea Morello Quantum Engineering at University of New South Wales Australia 21 nov. 2018 21 Lessons for the 21st Century Talks at Google Yuval Noah Harari 11 octubre 2018 Homo-Deus-A-Brief-History-of-Tomorrow Universidad de California, Yuval Noah Harari 27 febrero 2017 MIND BLOWN: Quantum Computing & Financial Arbitrage Andrea Morello Quantum Engineering at University of New South Wales Australia 18 jun. 2020 Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en GAMA M. Paredes López - A. Meneses Viveros - G. Morales-Luna Departamento de Matemáticas, Cinvestav, Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX Departamento de Computación, Cinvestav, Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX Rev. mex. fís. E vol.64 no.2 México jul./dic. 2018 Principios Fundamentales de Computación Cuántica 2013, Vicente Moret Bonillo Universidad de la Coruña-España Informática Cuántica - Parte 1 Tecnologias Disruptivas Alejandro Alomar 9 jul. 2018 https://www.youtube.com/watch?v=SisRIgS3oO4 Computación Cuántica para Torpes Publicado el 26 de septiembre de 2016 por Sergio Montoro https://lapastillaroja.net/2016/09/computacion-cuantica/ Intro to Quantum Computing Steve Spicklemire Lesson 38 Quantum Computing, Deutsch's Problem Learn Quantum Computation using Qiskit Page created by The Jupyter Book Community Qiskit Development Team Last updated on 2020/07/17. Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM Francisco R. Villatoro (Francis Naukas) 2 noviembre, 2018 https://francis.naukas.com/2018/11/02/disfruta-de-la-experiencia-cuantica-de-ibm/ Inversión de Matrices de Números Complejos reshish.com 2011 - 2020 https://matrix.reshish.com/es/multCalculation.php Algoritmo de Deutsch 13 octubre 2016 Felipe Fanchini https://www.youtube.com/watch?v=Sb5WRs8XUuU Desarrollo de un simulador para el protocolo de criptografía cuántica E91 en un ambiente distribuido Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015 Luis Cáceres Alvarez, Roberto Fritis, Palacios, Patricio Collao Caiconte Effect of an artificial model’s vocal expressiveness on affective and cognitive learning . Llaima Eliza González Brouwer 0999377 MSc. Human Technology Interaction Department of Innovation Sciences Eindhoven University of Technology August 2018 Así Cambiará el Mundo la Computación Cuántica 2016 Ignacio Cirac https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM GIPHY Imagen de Animación Gif / Partículas Explore Partículas Gif MathJax MathJax es una biblioteca javascript American Mathematical Society. Accessible Math in All Browsers El Algoritmo de Deutsch-Jozsa KET.G 25 mar. 2020 Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG Apuntes de Grupos de Lie Badajoz, 30 de diciembre de 2017 Volumen 3 1.2. Grupos de Lie Teoria de Grupos Marshall Hall jr. Bibioteca de Matemática Superior 1967 Maximilian Company, N.Y. USA Tutorial Grupos de Lie Javier García 29 jun. 2017 Serie de Capítulos ~ España Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli https://es.qaz.wiki/wiki/Pauli_matrices# Enciclopedia libre Matrices de Pauli Paginas Independientes que Contienen los Capítulos del Documento: José Enrique González Cornejo 20 de marzo 2020 DocIRS Technology
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