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Algebra de Lie $Mn(K)$ - Aplicaciones ~ Formalización Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie 
 Video Definición Algebra de Lie
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| + Ficha Técnica |
| + Variedad Diferenciable |
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Algebra de Lie $Mn(K)$ - Aplicaciones ~ Formalización La intención de este capítulo, - previo a la definición formal del Algebra de Lie -, es precisar una introducción a la teoría, mediante la descripción de herramientas básicas. Señalar la importancia de la determinante de una matriz  y cómo se deriva hacia un Algebra de Lie, desde los grupos especiales y unitarios de Lie $SU(n)$87.
De igual manera, explicar la idea de las variedades diferenciables y esbozar ciertas aplicaciones en robótica.  Planos Tangentes ~ Puntos Superficie de una Esfera118 Sea M una variedad topológica de dimensión $\mathit{n}$. Una carta o vecindad abierta en $M$ es un par $(U,\varphi)$, donde $U$ es un abierto de $M$ y $\varphi: U \rightarrow \varphi(U)=\hat{U}$ es un homeomorfismo de $U$ al abierto $\hat{U}$ de $\mathbf{R}^n$. La transformación $\mathit{\varphi}$ se le suele llamar cambio de coordenadas o función de transición. Nótese que una variedad localmente tiene propiedades hereditarias del espacio euclídeo, pero no así con las propiedades globales. Por eso es necesario agregar condiciones globales a la definición, a fin de evitar excepciones. Desde ahí que, la definición de variedad topológica garantiza que $\forall p \in M$, es posible encontrar una carta $(U,\varphi)$, tal que $\mathit{p}$ esté en su dominio. Ahora, si $\mathit{\varphi(p)}=0$ se dice el centro de la carta es $\mathit{p}$. (Sacando el vector constante $\mathit{\varphi(p)}$). |
Equivalencia Topológica ~ Homeomorfismo
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En la búsqueda de encontrar funciones existentes continuas y biunívocas entre espacios, tenemos desde la trigonometría el ejemplo de la función tangente. Restringiendo su dominio a un intevalo abierto de los propios reales: Ciertamente, el intervalo abierto $U=]-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}[$, que es un subconjunto de los reales, se dice que es topológicamente equivalente al conjunto de todos los reales, dado que existe al menos una función continua y biyectiva $\mathbf{\varphi}$ entre estos dos conjuntos. Esto, los convierte en espacios homeomorfos116, i.e. $\forall x\in U \text{ }\exists \mathbf{\varphi(x)}\in R$. Además con $\mathbf{\varphi(x)}=0$ la carta o vecindad está centrada en $\mathbf{x}$. En efecto,la función: $$\mathbf{\varphi}:]-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}[\subset R\quad \longrightarrow \quad ]-\infty,+\infty[=R\quad \text{, donde } \mathbf{\varphi(x)}=tan(x)$$ Nótese que $$x \longrightarrow -\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \mathbf{\varphi(x)}\longrightarrow -\infty \\ x=0 \quad \Rightarrow \mathbf{\varphi(x)}=0 \\ x \longrightarrow +\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \mathbf{\varphi(x)}\longrightarrow +\infty$$ El arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir, $\mathbf{\varphi^{-1}}(x)=arctan(x) \iff x=tan(\varphi(x))$. |
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La equivalencia topológica denominada isomorfismo se distinque de un homeomorfismo cuando se trabaja sobre variedades suaves. En ese ámbito todos los isomorfismos son homeomorfismos, no así al contrario. Un homomorfismo es simplemente un isomorfismo que no es biyectivo.(Puede ser no suprayectivo) Supongamos $G$ y $H$ son grupos. Entonces se dice que $\varphi:G \longrightarrow H$ es un isomorfismo de grupos si $\varphi$ es bijectiva (i.e., $\varphi$ es inyectiva(1-1) y suprayectiva (sobre), donde se satisfacen las tres siguientes condiciones:
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Varios de los fundamentos de esos conceptos se trataron en los capítulos previos del documento Puertas de Pauli y Algebra de Lie, y sus videos complementarios que intentan describir sus resultados más significativos.
El enfoque que aquí se expone es clásico y simple. El tema está profunda y abundantemente documentado en centenas de artículos académicos de Matemáticas108, Mecánica Cuántica, y diversas disciplinas científicas e ingenieriles. Es decir, existe una serie de tópicos atingentes que están lejos de los propósitos de este capítulo, el cual pretende formalizar el Algebra de Lie, a partir del uso de las Matrices de Pauli. Por tanto, en el presente artículo se tocan una serie de conceptos matemáticos involucrados como Topología, Variedades Diferenciables, Teoría de Grafos, u otras ramas complejas de la matemática que son brevemente tratados, en tanto introducción de introducciones. Aplicación del Algebra de Lie  Ejemplo de Homeomorfismo ~ La misma agua Vaso-Plato Equivalencia topológica116 La aplicación del Algebra de Lie obliga a todos aquellos que trabajan en programación, desarrollo de sistemas y robótica a equiparse con más matemática. Especialmente a profundizar en el Algebra Lineal en el campo de las transformaciones lineales y un poco de Topología. Dicho de otra manera, avanzar en el concepto de espacio Euclidiano, donde cada punto $p \in M\subseteq R^2$, tiene una vecindad que es homeomorfa (función de un espacio topológico a otro) en un subconjunto abierto en $R^n$. Esta propiedad lo convierte en una variedad diferenciable117.
Una introducción simple al concepto de variedad topológica unidimensional es la relación entre una línea y un círculo. Se entiende que la topología hace abstracción del arco (curvo) y de sus propiedades métricas. (Ver Propiedades Geométricas Cualitativas). Donde un segmento de un círculo se transforma mediante una función $\varphi()$ en una línea. Es decir, es un mapeo continuo e invertible desde $R^2$ hacia el intervalo abierto $]-1,1[$ en $R$
 Ejemplo: Variedad o Manifold Suave Luego, el concepto topológico de variedad bidimensional es un abstracción matemática del cotidiano concepto de superficie, que conocemos en un hoja de papel, un tabla delgada de madera, un lamina metálica, un banda rectangular, etc.. Es decir, estos objetos topológicos responden a la Geometría Euclidiana. Lo interesante es que la comprensión y extensión a espacios $R^n$ del concepto de variedad, se realiza a través de superficies. Nótese que la ventaja de la generalización de $R^2 \longrightarrow R^n$, es que todas las versiones de $R$ tienen la misma estructura topológica. 
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Ahora, los espacios de dimensiones superiores equivalentes a una $n \text{-variedad}$, son espacios topológicos con las mismas propiedades euclídeas. Esto significa que $R^n$ preserva las mismas propiedades estructurales topológicas de la variedad, dado que $R \subset R^2 \subset R^3 \dots \subset R^n$.
En el presente y en los diferentes artículos que hemos mencionado variedades, nos referimos a variedades compactas (y suaves), - generalmente de $2 \times 2$ -, basándonos en la existencia del teorema de clasificación de variedades compactas de dimensión $2$ [B59]. Teorema que facilita la comprensión y descripción de esta matemática topológica.  Variedad Suave (o lisa) vs Variedad No Suave (quebrada) Obsérvese que un punto en una superficie curva o plana de un espacio vectorial, tiene una vecindad de puntos que lo transforma en una estructura topológica. Luego, mediante una función continua y biyectiva hacia una vecindad en otro espacio vectorial. Es decir, este mapeo es una variedad suave105. La vecindad de un punto interior es un conjunto abierto de puntos próximos a él. Estos entornos pueden tener diversas clases (abiertos, cerrados, conexos, inconexos,...). Dentro de un Espacio Métrico, la unión de entornos puede cubrir un espacio. Así mismo, topológicamente puede definirse una métrica entre puntos interiores bajo propiedades cualitativas, i.e. no necesariamente distancias o cualidades numéricas. |
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La aplicación del Algebra de Lie y su empleo creciente en el ámbito de la robótica (Ver Lie theory for the roboticist, Joan Solà112), particularmente la matemática de las rotaciones basada en cuaterniones.  Variedad114 de $R^3 \longrightarrow R^2$ Esta relación de las operaciones en el grupo como muestra la figura "Variedad de $R^3 \longrightarrow R^2$" , que es curvo y no lineal, tienen un equivalente en el álgebra de Lie, que es un espacio vectorial lineal. Nótese que, en la esfera, - como por ejemplo Esfera de Bloch -, definida en $R^3$ no constituye un grupo de Lie, sólo se utiliza como una representación gráfica, dado que en $R^4$ se describe el grupo de cuaterniones unitarios111. El Algebra de Lie se incorpora a la robótica mediante los algoritmos de computación en el software de la máquina. Conjunto de aplicaciones y componentes desarrolladas en algún lenguaje de programación (C#, Python, javascript, asp, php,..) -, que gestionan el sistema sensorial del robot. Estos algoritmos que aplican Algebra de Lie incluidos en el software, se utilizan en numerosos casos de robótica móvil (o cinemática), para mover estructuras mecánicas en la ejecución de tareas específicas.  Rotación Rodilla-Tibia Humana Nótese que dentro de la serie de artículos y videos acerca álgebras y grupos de Lie que he publicado123, sólo me he enfocado desde la rotación de un objeto en torno a un punto de origen. Es decir, sin incluir aún los grupos de traslaciones en $R^n$, que ciertamente juegan un rol importantísmo en la robótica124.
Posicionamiento Brazo Robótico~Plano Cartesiano
 Posicionamiento ~ Brazo de 2 Eslabones
Es decir, la base del robot es un sistema de referencia fijo. De acuerdo a la figura previa,- que es un ejemplo de Cinemática Directa de un robot básico -, se observa:
Donde se puede desagregar en dos matrices (y un escalar asociado que es la longitud del eslabón): $$A_1=r_1\begin{pmatrix} \cos(\alpha)\\ sin(\beta)\\ \end{pmatrix}\quad \land\quad A_2=r_2\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta)\\ sin(\alpha+\beta)\\ \end{pmatrix} $$ $$\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}=A_1 + A_2 $$ 
La expresión matemática de las ecuaciones [AL_1], representa la posición y orientación relativa entre los sistemas
asociados a dos eslabones consecutivos del robot.
En efecto, las coordenadas $(x, y)$, son el punto final, donde interesa determinar su posición.
 Diag#1: Rotación Matrices Homogéneas en $R^3$ El robot del diagrama $Diag\text{#}1$, es un conjunto de tres cuerpos rígidos, dos eslabones y una pinza. Dotado de articulaciones que permiten movimientos rotatorios entre sus partes. Este sistema de cuerpos rígidos articulados ($Diag\text{#}1$), es posible representarlo mediante un grafo $G$. Es decir, realizar una abstracción desde la Teoría de Grafos con puntos y líneas. $[B57]$
Su grafo $G$ asociado consiste de cuatro puntos $V=\unicode{123} a_1,a_2,a_3,a_4 \unicode{125}$, donde cada par de puntos está unido por una línea. Llamemos $L=\unicode{123} l_{12},l_{23},l_{34}\unicode{125}$, las líneas vinculadas a sus puntos adyacentes, i.e. cada línea rotulada de acuerdo a sus subíndices incide en cada punto. Se dice que $G$ es un grafo $a(4,3)$ conexo. (Nótese que el número de líneas es igual al número de puntos menos $1$, $q=p-1$) Los elementos de la matriz adjunta $M$ señalan con el valor $1$ cuando existe adyacencia entre los puntos y con valor $0$ cuando no la hay. Nótese que $G$ es un grafo no direccionado. Adicionalmente, las líneas o arcos o aristas pueden ser direccionados. Este tipo de grafos se denominan también dígrafos o grafos cinemáticos y a los puntos se les denomina vértices. Las matrices que representan un dígrafo son de incidencia asimétrica. A continuación se ilustra el dígrafo o grafo direccionado $G^*$ y su matriz $G^*$ asociada:
A partir, de estos datos básicos de adyacencia se pueden configurar un conjunto de matrices que describen y controlan los movimientos del robot, mediante los algoritmos de computación que gestionan el sistema sensorial del robot. Un par de nodos rotatorios o articulaciones cinemáticas acopladas a los eslabones (líneas) del robot de la figura $Diag\text{#}1$, permiten un movimiento relativo entre ellos, de modo que este movimiento puede ser interpretado y descrito por el software que controla al robot, leyendo la data desde las matrices en $R^n$.  Diag#2: Rotación Articulaciones $a_3$ (Pinza $l_{34}$) y $a_2$ (Eslabón $l_{23}$) en $R^3$ Matriz basada primero en la adyacencia y posteriormente con matrices representativas que contienen más información rotatoria localizada en las celdas, donde existe relación, tanto con componentes subordinación, de jerarquía o de otras características de control. Resumiendo, diremos que un grafo $G(V,L)$ es el conjunto de todos los vértices y todas la líneas o arcos, donde surge una propiedad isomorfismo de grupos de $G$ con la matriz de adyacencia y también a la matriz de incidencia. Se puede visualizar el diagrama, su grafo asociado y sus matrices, que existe simetría entre esos objetos matemáticos, i.e. son invariantes bajo la acción de esas transformaciones dotadas de una inversa. $$ MIM_n=\begin{pmatrix} \text{V\L} & \mathbf {l_{01}} & \mathbf {l_{12}} & \mathbf {l_{23}} & \mathbf { l_{34}} \\ \mathbf{a_{1}} & 1 & -1 & 0 & 0 \\ \mathbf{a_{2}} & 0 & -1 & 1 & 0 \\ \mathbf{a_{3}} & 0 & 0 & -1 & 1 \\ \mathbf{a_{4}} & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ Para terminar este párrafo introductorio, se esboza una explicación del paso desde esta matriz de incidencia modificada (MIM) hacia un grupo de lie, donde cada entrada se transforma desde un escalar a una matriz, sustituyendo los $1$ por la matriz idéntica o unidad $I$ y los valores $0$ por la matriz nula. Puesto que el movimiento relativo entre dos eslabones (líneas) puede ser descrito por un giro de las articulaciones, i.e. todo movimiento relativo en el espacio del conjunto de elementos (figura $Diag\text{#}1$), es una combinación lineal de estos objetos que son linealmente independientes. A partir ahí, se construye un subespacio con restricciones de control para todos los posibles movimentos del robot. (Ver Obtencion del Modelo Dinámico Simbólico de Robots Ramificados Utilizando Grupos de Lie y Grafos , Universidad Carlos III de Madrid, 2016).
Nótese que el proceso de transitar desde el brazo robótico de la figura ($Diag\text{#}1$), mediante grafos asociados, matrices, rotación y permutaciones, tiene por objeto reducir y obtener representaciones isomorfas con grupos de Lie, sobre los cuales se tiene información y es posible tabular la data, utilizando grupos de permutaciones y matrices.143 Más adelante se puede agregar un conjunto de matrices de estado, donde sus articulaciones puede ir variando entre una rotación par (+1), impar (-1), o cero, de acuerdo al control paramétrico que asignado. (Ver Generadores SO(3) en el artículo Definición Algebra de Lie).  |
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De igual forma un robot puede ejecutar distintas funciones computacionales, a fin de generar códigos o emitir informes estadísticos o automatizar procesos de otra índole (Ver Video: Experimento ~ Supervisión y Entrenamiento ~ Inteligencia Artificial ~ Naïve Bayes ~ Learning Machine). La introducción cada día más creciente del Algebra de Lie en el desarrollo de la robótica, ciertamente está logrando estimaciones con más precisión, consistencia y estabilidad en los diseños de múltiples rotaciones que involucran superficies topológicas lisas de los grupos de Lie([B56]). Esto se manifiesta en el trabajo sobre variedades de rotación $SO(3)$106 y los enfoques de mapeo exponencial (Ver Video Grupo de Lie - Enfoque Exponencial).  Pauli - Algebra de Lie - Robótica Así mismo, otros conjuntos de matrices de grupos de Lie que están disponibles para aplicaciones prácticas en diversos ámbitos. Por ejemplo, en el aprendizaje automático "Learning Machine", que es una rama de la inteligencia artificial, que cada día más juega un rol creciente en la investigación científica. En efecto, el Algebra de Lie proporciona, por un lado representaciones geométricas de datos, y por otro lado soluciones algebraicas específicas. Es decir, es posible asociar grupos de Lie a estas representaciones geométricas, mediante un concepto topológico y Teoría de Grafos [B57] Las representaciones geométricas que generan los datos dentro de un contexto, - sobre el cual se tiene conocimiento y experiencia -, es posible establecer relaciones entre causa y efecto, con evidencias y resultados, entre la data de entrada y de salida. El proceso intermedio entre Entrada y Salida, generalmente ocurre con minería de datos, donde se estructura, analiza y formulan determinadas reglas sobre las cantidades masivas de datos de Entrada sin procesar. En la práctica, a estos datos se les aplican unos ciertos criterios de búsquedas, con el propósito de encontrar patrones y errores, a través de algoritmos matemáticos, computacionales y técnicas de minería de datos, que filtran, limpian, ordenan y validan los resultados de Salida.  Datos: Entrada $\rightarrow$ Proceso $\rightarrow$ Salida Entonces, con las frecuencias relativas que generan estas enormes cantidades de datos (con o sin supervisión y entrenamiento), se ajusta una superficie que permite desarrollar algoritmos con una predicción bayesiana de la salida para las próximas entradas. Estas superficies generadas por la data, - sin supervisión y entrenamiento (sin etiquetar) -, pueden lograr que el sistema modele la estructura inherente de esos datos con precisión. Es decir, el aprendizaje no supervisado es útil en los casos en que el desafío es descubrir y configurar un algoritmo, con las implícitas relaciones en un conjunto de datos sin estructurar. Efectivamente, desde el análisis de datos se examina un conjunto enorme de registros capturados, con el propósito de sacar conclusiones y patrones, con los cuales es posible transformar la data en información. Es decir, para descubrir o ampliar conocimientos, sea por la experiencia que sustentan algunas hipótesis predeterminadas o para establecer nuevos patrones de comportamiento desde la muestra de datos analizada. La recolección de datos puede revelar clasificaciones que ayudan a confirmar o descartar supuestos acerca de los modelos existentes.  Clasificación Modelo ~ Naïve Bayes En general, se trata de modelos predictivos, los cuales permiten pronosticar o responder preguntas. Las respuestas se expresan en clases, sean binarias o de atributos clasificados. Es decir, se predice información en base a datos numéricos agregados en clases y transformarse en herramientas de aprendizaje automático e inteligencia artificial. (Ver Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación Modelo de Variables Discretas y Experimento ~ Supervisión y Entrenamiento ~ Inteligencia Artificial ~ Naïve Bayes Learning Machine) En el caso de que el algoritmo muestre que el problema de aprendizaje se puede resolver, entonces se recurre a diagramar un espacio de aprendizaje (Diagrama de Dynkin113), conformado por los datos y su correspondiente Grupo de Lie. Para aquellos que requieran profundizar sobre las representaciones de Dynkin y Algebra de Lie, recomiendo ver la clase de "Lie Algebra Representations" del profesor André Henriques (Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford) publicada en Youtube en agosto del 2015.
En otras palabras, se puede configurar un algoritmo de aprendizaje geométrico con los Grafos Dynkin en Lie group Machine Learning (LML). Mediante este algoritmo se visualiza si el problema de aprendizaje tiene solución. De modo que una vez resuelto, con el Diagrama de Dynkin se configura desde ese espacio de aprendizaje. El diagrama es un grafo asociado con su matriz adjunta que se modeló, a partir de los datos que generaron la superficie.115. Luego, de acuerdo con ese Diagrama de Dynkin esbozado por la data recolectada, se encuentra un grupo de Lie asociado con su solución correspondiente. Por tanto, el grupo de Lie es una herramienta de base para la teoría del aprendizaje automático. Por ejemplo, este mismo concepto del Diagrama de Dynkin se utiliza en los softwares de reconocimiento facial de un individuo. Ver video de National Geographic El verdadero Tutankamón , donde en un segmento del video se muestra el método e investigación del profesor Amit Roy-Chowdhury, de la Universidad de California en Riverside (UCR), Estados Unidos.
Imágenes de NatGeo: El verdadero Tutankamón Profesor Amit Roy-Chowdhury
En ese segmento del video se explica el procedimiento del algoritmo, que es resumidamente lo siguiente: Se crea una malla en la superficie de un rostro y se marcan los puntos de interés como los anillos de los ojos, la nariz, los pómulos y la boca. Es decir, se van identificando, localizando y mapeando los rasgos faciales, hasta alinear la malla con la cara de la persona. Desde ahí, el algoritmo determina un número finito de puntos de referencias, generando un grafo asociado con un patrón único de la cara. El algoritmo, ciertamente está montado sobre robustas bases de datos, dotado de un modelo de Learning Machine con atributos de clasificación, observaciones estadísticas iteradas, métricas, supervisión y entrenamiento.
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v.9.1/Septiembre 2022 ~ Dispositivos Móviles
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