El objetivo de lo descrito en los párrafos previos ha sido enfocar un Grupo de Lie como un objeto geométrico con una forma dibujable y didáctica, aunque los Grupos de Lie del álgebra abstracta no es siempre posible visualizarlos como en los ejemplos anteriores.

Se continuará con la representación de las matrices en SO(3) que está estrechamente relacionado con los visto en SO(2), para enseguida pasar a esbozar el marco general en el que deben situarse los grupos de matrices $n \times n$ en SO(n).

- Matriz de Rotación $M \in SO(3)$

Para comenzar, abordemos la extensión mediante un operador $M_{3 \times 3}(\beta)$ en el plano euclidiano que al ser aplicado a un vector aumentado de coordenadas rectangulares $(x_1,x_2,1)$, - localizado en torno a un punto de origen $0$ -, lo hace rotar en un ángulo $\beta$ hacia un vector $X'$ de coordenadas $(x_1',x_2',1)$.

Figura 3: Matriz en $\mathbb R^3$ que Genera una Rotación Pasiva

En otros términos, se aplica el mismo procedimiento previo de $SO(2)$, i.e. una matriz aumentada $M_{3 \times 3}$ que multiplicada por el vector $X$ obtenga estas nuevas coordenadas en $X'$:

Este conjunto de matrices cumple las condiciones de rotación en el plano euclidiano y constituye un Grupo de Lie en $SO(3)$.

Figura 3.1: Rotaciones Independientes en Torno a Ejes ¹²¹

En el espacio $\mathbb R^3$ se especificará la matriz que gira un vector por un ángulo alrededor de un eje del espacio tridimensional. Se utilizarán las matrices fundamentales, las cuales son rotaciones que determinan cada par de ejes ortogonales.

Se recurre a la matriz aumentada sobre el espacio euclidiano de tres dimensiones, donde las coordenadas cartesianas de las matrices fundamentales $M_{x}(\alpha),M_{y}(\beta),M_{z}(\gamma)$, generan las rotaciones se expresan a continuación:


$$M_{x}(\alpha)= \begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0}\\ \bbox[yellow]{0} & cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ \bbox[yellow]{0} & -sin(\alpha) & cos(\alpha)\\ \end{pmatrix} $$

$$M_{y}(\beta)= \begin{pmatrix} cos(\beta) & \bbox[yellow]{0} & -sin(\beta) \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0}\\ sin(\beta) & \bbox[yellow]{0} & cos(\beta)\\ \end{pmatrix} $$

$$M_{z}(\gamma)= \begin{pmatrix} cos(\gamma) & sin(\gamma) & 0 \\ -sin(\gamma) & cos(\gamma) & 0 \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1}\\ \end{pmatrix} $$

Las rotaciones se realizan sobre los ejes de coordenadas Cartesianas en el espacio tridimensional euclidiano, se identifican los ángulos de rotación en torno a cada eje, tomando como referencia el giro en torno al eje $z$ como $\gamma$, el giro en torno al eje $y$ como $\beta$, y el giro en torno al eje $x$ como $\alpha$.

Nótese que la matriz $M_{2 \times 2}\in SO(2)$ se aumenta introduciendo los vectores canónicos: en el caso $M_{x}(\alpha)$, se introdujo $\vec i$ en la primera fila y primera columna; en $M_{y}(\beta)$ se introdujo $\vec j$ en la segunda fila y segunda columna; y en $M_{z}(\gamma)$ se introdujo $\vec k$ en la tercera fila y tercera columna.

Desde ahí se obtiene:

• $Mx(\alpha)=Rx(\alpha)$ rota el plano $yz$ alrededor del origen por un ángulo $\alpha$.


• $My(\beta)=Ry(\beta)$ rota el plano $xz$ alrededor del origen por un ángulo $\beta$.


• $Mz(\gamma)=Rz(\gamma)$ rota el plano $xy$ alrededor del origen por un ángulo $\gamma$.

Las transpuestas de las matrices son sus respectivas inversas. Es decir, son ortogonales:

$$M_x(\alpha)(M_x(\alpha))^T=(M_x(\alpha))^T M_x(\alpha)=I$$

$$M_x(\beta) (M_y(\beta))^T=(M_y(\beta))^T M_y(\beta)=I$$

$$M_x(\gamma)(M_z(\gamma))^T=(M_z(\gamma)^T M_z(\gamma)=I$$

De modo que las tres matrices al multiplicarlas por sus transpuestas son iguales a la matriz identidad $I$.

Por tanto, cumplen con la condición de ortogonalidad en lo reales. En efecto, todas aquellas matrices ortogonales cuyos elementos son números reales, la transpuesta es igual su inversa. Esto último, - tal como se demuestra -, es equivalente a la afirmación de que la métrica permanece invariante.⁹⁵

Nótese que para demostrar que el conjunto de matrices $M$ constituye un grupo de Lie, se puede inducir desde el desarrollo que se realizó geométricamente en $SO(2)$, donde sólo es necesario efectuar rotaciones en torno a dos de los ejes $x$ e $y$, cada uno en forma independiente.(Ver Deducción Geométrica de $M$)

La rotación de objetos en un espacio tridimensional se realiza desde $SO(2)$, puesto que se está rotando el objeto en torno al eje $z$, el cual apunta hacia arriba, i.e. se está rotando un objeto sólo en dos dimensiones en el plano $xy$.

$SO(2)$ Impar en $\mathbb R^3$ por Tramos de $\frac{\pi}{4}$

En caso de tener que trabajar con matrices complejas, i.e. matrices unitarias que contengan números imaginarios (dentro de los espacios de Hilbert), entonces la ortogonalidad se muestra mediante la igualdad de la transpuesta de su conjugado complejo, también denominada "daga" de la matriz y denotada con el símbolo ⁺.

Sea $X \in M_{n \times n}(C)$ entonces $X^+=(X^{*})^{T}$ es la traspuesta del conjugado de $X$ matriz.

$$\Rightarrow \quad X^+=X^{-1}$$

- Matriz de Rotación $M \in SO(n)$

El paso del grupo de Lie $(G,·)$ en el plano $\mathbb R^{2}$ y $\mathbb R^{3}$ hacia un espacio multidimensional es una estructura diferenciable de forma natural, es un espacio proyectivo extendible a matrices de $n\times n$ aplicando las mismas propiedades que hemos desarrollado previamente.(Ver Características).

Sea $M_{n\times n}\in SO(n)$, tal que $X=MX'$:

Donde la matriz $M_{n\times n}$ tiene la misma caracterización que se determinó para $M_{2\times 2}$, i.e:


$$ G=\unicode{123}M\in SO(n)/Det(M)=1 \land M^{T}=M^{-1}\unicode{125} $$

Por tanto, $\Rightarrow M^{T}M=M^{T}M=I$, de donde la ortogonalidad de $M$ explica la métrica invariante. De modo que $S^{2}=X^{T}X=(X')^{T}X$ ⁹⁴ La métrica invariante es $S^{2}=XX^{T}=X'(X')^{T}$:

$$ \mathtt{ S^{2}=\\ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \text{...} \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'_{1} & x'_{2} & x'_{3} & \text{...} & x'_{n} \\ \end{pmatrix} =\\ \begin{pmatrix} x'_{1} \\ x'_{2} \\ x'_{3} \\ \text{...} \\ x'_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'_{1} & x'_{2} & x'_{3} & \text{...} & x'_{n} \\ \end{pmatrix} } $$

$$S^{2}=\sum_{i=1}^n x_{i}^{2}=\sum_{i=1}^n (x'_i)^2$$
En efecto:

$X=MX'$

$(X)^{T}=(MX')^{T}= (X')^{T}M^{T}\qquad\longleftarrow \text{ Multiplicando por }X=MX'$95

$X^{T} X=(X')^{T} \underline{\mathbf{M^{T}M}}\text{ }X'\qquad \longleftarrow \text{Dado que } M^{T}M =I$

$\Rightarrow\quad X^{T} X=(X')^{T}X'=S^2$

Por tanto, que la transpuesta de una matriz real cuadrada $n \times n$ sea igual a su inversa, i.e. $M^{T}=M^{-1}$ y que la magnitud del vector permanezca invariante bajo una rotación de las coordenadas, implica directamente que $M$ es ortogonal.

En general, un conjunto de transformaciones invertibles que dejan una propiedad invariante siempre define un grupo.

Retomemos la matriz $M(\alpha)_{2\times 2}$, que se definió en $[L1]$, haciendo un cambio de notación y designando la transformación como $R(\theta)$, a fin de utilizar u homologar la notación de los enfoques de rotación infinitesimal más comunes abordados en la Matemática-Física ⁹⁹ .

Rotulemos esta matriz $R(\theta)\in SO(2)$ como $[L1.1]$, i.e. es equivalente a $M(\alpha)_{2×2}$ ortogonal que pertenece al "Special Ortogonal of Order 2" y que representa las transformación para rotaciones pasivas en el plano:


$$ R(\theta)= \begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{pmatrix} \qquad\quad [L1.1] $$

Rotación Plano ~ Cambio Sistema Coordenadas

La matriz $R(\theta)$ produce la misma rotación pasiva de un ángulo $\alpha$ sobre el sistema de coordenadas cartesianas visto previamente y constituye un Grupo de Lie de la forma:

$$G=\unicode{123}R\in SO(2)/Det(R)=1 \land R^{T}=R^{-1}\unicode{125}\qquad\quad [L1.2] $$
Luego, sea $\theta$ un ángulo definido en el intervalo real $-\pi\le\theta\le \pi$ y sea $n\in N$ un número natural, donde $\theta=n (\frac{\theta}{n})$ , i.e. dividimos el ángulo en $n$ fracciones. Aplicando límites a la fracciones $(\frac{\theta}{n})$ se tiene que:

$$n \longrightarrow \infty \Rightarrow \frac{\theta}{n} \longrightarrow 0$$
En otros términos:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\require{cancel}\cancelto{0}{(\frac{\theta}{n})}\longrightarrow R[\theta]=\\R \begin{bmatrix}\Bigl(\frac{\theta}{n}\Bigr)\end{bmatrix}^{n}\approx\\ \lim\limits_{n\to\infty}R\begin{bmatrix}\Bigl(\frac{\theta}{n}\Bigr)\end{bmatrix}^{n}$$

De las características de esta matriz (Ver $[L3]$), tenemos que $M^{T} \times M^{-1} = M^{-1}M^{T} =I$. Esta propiedad simplemente admite aplicar la ley de composición:¹⁰⁰

$\theta=\sum_{i=1}^n (\frac{\theta}{n})$, o que el ángulo se puede descomponer en pequeños ángulos positivos, cuya suma es igual a $\theta$

Efectivamente, aplicando un concepto fundamental del Cálculo Diferencial decimos: Rotar $n$ veces un ángulo $\large{(\frac{\theta}{n})}$ es lo mismo que rotar un ángulo $\theta$.

Ilustra un Rotación Infinitesimal

Así mismo si $\theta \longrightarrow 0$ entonces los valores de $cos(\theta)\longrightarrow 1$ y $sin(\theta)\longrightarrow 0$, cuyos elementos conforman $R(\theta)$.

Sea $ \epsilon=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{\theta}{n})$, esto significa que la matriz de rotación $R(\epsilon)\longrightarrow (I+A)$. Es decir, existe una matriz $A$ infinitesimal del mismo orden que completa la igualdad en el límite. Este supuesto de aproximación es fundamental¹⁰¹ para la transformación en potencias de $n\in N$ la rotación infinitesimal.

De modo que la matriz $R$ tiende a la matriz Idéntica más una matriz Infinitesimal del mismo orden.

Expresión que asignaremos como $R(\epsilon)\approx(I + A)$, donde $A$ es la matriz conformada por valores reales infinitesimales. Por tanto, se asumirá que valores como $\require{cancel}\cancelto{0}{A^2},\cancelto{0}{A^3},\dots \cancelto{0}{A^n}$ son cero. (Valores muy pequeños menores que $1$. Además, se comprobará que $A$ es Antisimétrica.):


$$ R(\epsilon)= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} \\ \end{pmatrix} =I+A\qquad, \text{ donde cada uno de }\epsilon_{ij}\longrightarrow 0\quad \forall i,j\in N $$

Nótese que la matriz $A$ es casi la matriz $\mathbb 0$, pero $A\neq 0$. Por tanto diremos que realizar una rotación $R$ sobre un ángulo pequeño $\large \epsilon$ se puede expresar como la matriz Idéntica más una matriz de la forma de $A$.


$$A =\begin{pmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} \\ \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$
Luego,

$$ R\begin{bmatrix}\Bigl(\frac{\theta}{n}\Bigr)\\ \end{bmatrix}^n =(I+A)^n\qquad\quad L[6.2] $$
$R(\epsilon)=(I + A)$ es una rotación pasiva infinitesimal y continua que cumple con la propiedad de invariabilidad, donde

$$R^{T}=R^{-1}$$
$$\Rightarrow$$
$$R^{T}·R=I$$
$$(I + A)^{T}(I + A)=I$$
$$\Rightarrow (I^{T}+A^{T})(I+A)=I$$
$$\require{cancel}\Rightarrow (\cancelto{I}{I^{2}}+I·A+A^{T}·I+ \cancelto{0}{A^{2}}=I$$
$$\Rightarrow (I·A + A^{T}·I)= 0$$

Por tanto, la matriz $A$, - obtenida bajo las características de Grupo de Lie $[L1.2]$ -, es Antisimétrica, dado que $(A + A^{T})= 0$ es su definición. Si aplicamos, la definición sobre una matriz real de $2\times 2$ entonces se obtiene una matriz de la forma siguiente:

$$ A=\begin{pmatrix} 0 & -\epsilon \\\epsilon & 0 \\ \end{pmatrix}\qquad\text{, donde } \epsilon \neq 0 \quad (\epsilon \longrightarrow 0)$$
Factorizando por $\large \epsilon$ se obtiene:
$$ A=\large \epsilon\begin{pmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

$$\text{Ahora, sea}\quad J=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

$\Rightarrow$ $A=\epsilon·J$ (Ver Enfoque Matriz Exponencial o Video: II.- Grupo de Lie~Enfoque Exponencial)

Este mismo concepto de matriz antisimétrica $A$, es extendible a matrices de $n \times n$. Es decir, se aplica para matrices en el espacio multidimensional para la expresión $[L6.2]$.

Ahora consideremos esta expresión $[L6.2]$, desagregado en sus matrices extendidas:

$$ \begin{bmatrix}R(\frac{\theta}{n})\end{bmatrix}^n=(I+A)^n =\left[ \begin{array}{c} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} +(\frac{\theta}{n}) \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{array} \right]^n=(I + (\frac {\theta}{n})·J)^n $$
De donde se concluye que:
$$ A=(\frac{\theta}{n})J=\epsilon J $$
En otras palabras, cuando $\theta\longrightarrow 0 $, i.e. sea muy pequeño, entonces utilizaremos la siguiente igualdad:

$$A=\theta J\qquad\quad[L6.3]$$
Nota.- Más adelante cuando se aplique el polinomio de Taylor, se recurrirá a

$A^2=\theta^2 J^2\text{, }A^3=\theta^3 J^3\text{, } A^4=\theta^4 J^4\text{, }\dots A^n= \theta^n J^n$

A continuación, veremos la recursividad de las derivadas de $[R(\theta)]^n=(I+(\frac{\theta}{n})J)^n$, a fin de aplicar la Serie de Taylor, que se expresa con la siguiente formulación en serie de potencias:

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{\small{(n)}}(\theta)}{n!}(x-\theta)$$

Recordar que la Serie de Taylor de una función real o compleja $f(x)$ es infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo, -en este caso-, se evalúa en $\theta=0$. La expresión $f^{\small{(n)}}$ denota la n-ésima derivada de la función evaluada $\theta$. Nótese que cuando la Serie de Taylor se evalua en $\theta=0$, la serie es también denominada: Serie de Maclaurin.

Comencemos evaluando la función de rotación $[R(\theta)]^n=(I+(\frac{\theta}{n})J)^n$ en el origen $0$, i.e. $\theta=0$:

$$[R(0)]^n=(I+\require{cancel}\cancelto{0}{(\frac{0}{n})J)^n}=I^n=\mathbf{I}$$

Ahora derivemos $n$ veces la función de rotación $[R(\theta)]^n$, i.e. la expresión $(I+(\frac{\theta}{n})J)^n$, donde se debe aplicar la regla de la cadena, cuya variable es $\theta$ y los otros términos son constantes, de modo que la derivada interna de $\large{\frac {d\theta}{d\theta}}=\theta^{'} =1$

$$ \frac{dR}{d\theta}=R^{'}(\theta)=\\n(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-1}(\frac{J}{n})=\\(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-1})J\\\Rightarrow\mathbf{ R^{'}(0)=I·J = J} $$

$$ \frac{d^{2}R}{d\theta}=\\R^{''}(\theta)=n(n-1)(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-2}(\frac{J}{n})^2\\\Rightarrow \mathbf{R^{''}(0)=\\\require{cancel}\cancelto{}{n}(n-1)\frac{J^2}{n}} $$

$$ \frac{d^{3}R}{d\theta}=\\R^{'''}(\theta)=n(n-1)(n-2)(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-3}(\frac{J}{n})^3\\\Rightarrow \mathbf{R^{'''}(0)=\\\require{cancel}\cancelto{}{n}(n-1)(n-2)\frac{J^3}{n^{2}}} $$

$$ \frac{d^{4}R}{d\theta}=\\R^{iv}(\theta)=n(n-1)(n-2)(n-3)(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-4}(\frac{J}{n})^4\\\Rightarrow \mathbf{R^{iv}(0)=\\\require{cancel}\cancelto{}{n}(n-1)(n-2))(n-3)\frac{J}{n^{3}}} $$

$$\dots\dots$$

Calculemos entonces la enésima derivada de la serie:

$$ \frac{d^{\mathit (n)}R}{d\theta}=\\R^{\mathit (n)}(\theta)=n(n-1)(n-2)(n-3)\\(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-4}\dots (\frac{J}{n})^n \\\Rightarrow \mathbf{R^{\mathit (n)}(0)=\\\underbrace {\require{cancel}\cancelto{}{n}(n-1)(n-2))(n-3)\\(n-4) \dots} \frac{J^n}{n^{n-1}}} $$

Luego al operar el polinomio en $n$ de la enésima derivada $R^{\mathit (n)}(0)$, se obtiene que el coeficiente principal igual a $1$ del numerador del término $n^{n-1}$, es igual que el coeficiente principal polinomio del denominador que es también $1$. Eso implica que el límite al infinito es $1$, dado que ambos polinomios tienen el mismo grado. Entonces,

$$ \lim\limits_{n\to\infty} {R^{\mathit (n)}(0)} =\lim\limits_{n\to\infty}\require{cancel}\cancelto{1}{{\frac{(n-1)(n-2))(n-3)\dots}{n^{n-1}}} J^n}=\mathbf{J^n} $$
Por tanto, bajo el concepto de sucesión convergente o espacios métricos continuos e infinitesimales, se irán sustituyendo en el próximo polinomio de Taylor las derivadas por los siguientes términos con potencias de la matriz $J$:

$$\unicode{123} R(0)=I,\text{ } R^{'}(0)=J,\\\text{ } R^{''}(0)=J^2,\\ \text{ } R^{'''}(0)=J^3, \text{ }R^{iv}(0)=J^4,\\\dots ,R^{\mathit (n)}(0)=J^n\unicode{125}$$

Aplicando el desarrollo de polinomio con Serie de Taylor,- en torno al origen $0$ del intervalo $-\pi \le \theta \le \pi$-, a la función de rotación Infinitesimal $R(\theta)$, se obtiene lo siguiente:

$$R(\theta)= \\R(0)+ R(0)'(\frac{\theta}{1!}) + R(0)''(\frac{\theta^2}{2!}) + \\R(0)'''(\frac{\theta^3}{3!}) + R(0)^{iv}(\frac{\theta^4}{4!})+\dots $$

En efecto, en el polinomio se reemplaza cada término $\theta^{k}J^{k}$ por $A^{k}$ con $k=1,2,3,4, \dots$. Ver $[L6.3]$

La serie rotulada con $[L6.4]$ demuestra ser claramente la serie de Taylor para la función $\large {e^{A}}$, lo que demuestra que

$$R(\theta)=\large{e}^A=\large{e}^{\theta J}=\large{e}^{\theta \small{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \\ \end{pmatrix}}}$$

$$ \large{e}^A=I + A + \frac{1}{2}A^2 + \frac{1}{3!}A^3+\frac{1}{4!}A^4 + \frac{1}{5!}A^5 + \frac{1}{6!}A^6+\frac{1}{7!}A^7+ \cdots\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k $$

A continuación de este desarrollo "Infinitesimal de las Rotaciones Pasivas", base del siguiente capítulo II. Enfoque Exponencial $\large{e}^A$, del Grupo de Lie de matrices $2\times 2$.

Por tanto, hemos demostrado $M_{2x2}$ constituye el Grupo de Lie $(G,·)$ y que ambos enfoques, tanto el geométrico en el plano aplicando simple trigonometría como el enfoque Matriz Exponencial son herramientas para obtener la matriz simétrica de rotación $M_{2x2}\in SO(2)$.

Notas Complementarias Adjuntas

Cubo de Rubik
Ejemplo de Grupo Simétrico de Permutación