Matriz de $\quad 2^{2} \times 2^{2}\quad =\quad$4 $\times$ 4
Seleccione Nº Qubits
Coeficientes Complejos
El hecho de que las probabilidades deben sumar uno, pone algunas restricciones sobre lo que pueden ser los coeficientes o amplitudes en la combinación lineal:
$|ψ〉 = α|0〉 + β|1〉$
Y dado que los cuadrados de estos coeficientes $α$ y $β$ están relacionados con la probabilidad de obtener un resultado de medición, ellos están limitados por el requisito:
$|α|^{2} + |β|^{2} = 1$
De modo que cuando esta condición es satisfactoria para los cuadrados de los coeficientes de un qubit, se dice que el qubit está
normalizado y admite calcular el módulo de estos números de la siguiente manera 16 :
$|α|^{2}=αα^{*}$
$|β|^{2}=ββ^{*}$
Donde $α^{*}$ es el complejo conjugado de $α$ y $β^{*}$ es el complejo conjugado de $β$.
Es decir, si $z = x + iy$ , entonces el conjugado es $z^{*} = x - iy$, donde $x, y \in R$.
Representación Gráfica de $z$ y $z^{*}$ 17
Por tanto el modulo:
|z|2=(x + iy)(x - iy)=x2 + ixy - ixy + y2
$\Rightarrow$ |z|2 =x2 + y2
Ejemplos:
i. Si $\quad z = 3 - 4i\quad \Rightarrow \quad z^{*}=3+4i,\quad \therefore |z|=\sqrt{5}$
ii. Para el siguiente estado cuántico:
$$|ψ〉=(\frac {1+i}{\sqrt{3}})|0〉-\frac {i}{\sqrt{3}}|1〉$$
Si se realiza una medición,
¿Cuál es la probabilidad que se encuentre el qubit en estado $|0〉$?
Respuesta: La probabilidad de que el ket $|ψ〉$ se encuentre en el estado $|0〉$, es el módulo al cuadrado correspondiente a la amplitud de probabilidad o coeficiente parte real $\alpha_0$, asociado a ese vector:
Por tanto, la probabilidad del que el sistema cuántico $|ψ〉$ se encuentre en estado $|0〉$ es $p = \frac {2}{3}$
Obviamente la probabilidad de que $|ψ〉$ se encuentre en estado $|1〉$ es $q = 1 - \frac {2}{3} = \frac {1}{3}$
Función javascript - Normalización
A continuación, el código de una función en javascript para la normalización de un numero complejo, ingresado en forma separada su parte real e imaginaria.
<script>
function Normaliza_Complejo(z_real,z_imag)
{
/* Se valida previamente que z_real y z_img sea números reales
*/
var modulo=(z_real + z_imag)*(z_real-z_imag)
modulo=Math.abs(modulo)
var raiz_modulo=Math.pow(modulo,0.5)
if (raiz_modulo!=0)
{
var u_real=z_real/raiz_modulo
var u_imag=z_imag/raiz_modulo
if (z_imag >=0)
{
var signo_imag=" + i "
}
else
{
var signo_imag=" - i "
}
}
alert(u_real + signo_imag + Math.abs(u_imag))
}
///// EJEMPLOS
Normaliza_Complejo(33,-15)
Normaliza_Complejo(-7,13)
Normaliza_Complejo(-3,-8)
</script>
Amplitudes de Probabilidad con Números Complejos
En las tablas a continuación se ilustra cómo se normaliza un conjunto de números complejos, a fin de satisfacer el requisito de que la suma de los módulos al cuadrado de las amplitudes de probabilidad de todos los estados posibles es igual a 1.
En este caso de simulación se utilizan números enteros sacados, - tanto la parte real como imaginaria -, aleatoriamente entre -100 y 100. Es decir, $z = x + iy\quad$, donde $\quad x,y \in A\quad$ y $\quad A =${$ n \in \mathbb{Z}\quad/\quad -100<n<100$}.
Nótese que al presionar el botón Medir, colapsa el sistema en el estado básico más probable, de inmediato aparece el botón Superposición que al presionarlo activa la generación de amplitudes de probabilidad dinámicamente y vice versa.
Los coeficientes complejos generados dinámicamente en forma aleatoria en la Tabla#1 se normalizan en $u_i$ en la Tabla#2, y permiten representar el estado de un qubit en superposición. En efecto, valores que pueden describir el comportamiento de un sistema cuántico. El cuadrado del módulo de esta cantidad representa una probabilidad o densidad de probabilidad. La cantidad de $2^{n}$ coeficientes generados se realiza en función del número $n$ de qubits que se está operando.
En general en programación cuántica, se utilizan amplitudes de probabilidad que son equiprobables. Cuando se configuran circuitos con puertas cuánticas y se ejecutan múltiples veces (que es lo usual), las probabilidades tienden a al valor esperado. Es decir, si el número de qubits es $n$, entonces se utilizan uniformemente distribuidos los valores en los coeficientes $α_i=1/\sqrt{n}$. Por ejemplo, la Base de Hadamard (denominada así en honor al matemático francés Jacques Hadamard) en $C^{2}$:
Dada una base ortonormal, cualquier estado puro $|ψ〉$ de los vectores $|0〉$ y $|1〉$ de un sistema cuántico de dos niveles se puede escribir como una superposición de los vectores base, donde el coeficiente o la amplitud de cada vector base es un número complejo. Sin embargo, dado que sólo la fase relativa entre los coeficientes de los dos vectores básicos tiene algún significado físico, podemos tomar el coeficiente de $|0〉$ como real y no negativo.
Complejos Normalizados en Coordenadas Polares
Un numero complejo $z = x + iy$ también se representa en coordenadas polares como $z = r (cosΘ + i·senΘ)$. Para ese efecto, se establece un plano cartesiano donde el eje de la ordenadas $Y$ se utiliza para el coeficiente del imaginario $i$ y el eje de las abcisas $X$ para el valor de la parte real.
Es decir, inicialmente todo $z \in C$ puede expresarse cartesiana y gráficamente como un par ordenado $(x,y)$ sobre el plano y el vector que va desde el origen hasta esas coordenadas lo llamaremos $\overrightarrow r$.
Nótese que al normalizar un numero complejo $z$ en su forma polar o bajo la fórmula de Euler18 $u = e^{iΘ}=cosΘ + i·senΘ$, nos aseguramos que $|u|^{2}=cos^{2}Θ + sen^{2}Θ=1$. Es decir, que la suma de los módulos al cuadrado de las amplitudes de probabilidad de todos los estados posibles es igual a 1.
De esta forma podemos trabajar los estados de los qubits sobre el círculo unitario, que es de radio 1, centrado en el origen (0, 0) sobre el plano Cartesiano. Este sistema se puede generalizar y extender a tres dimensiones. (Ver Esfera de Bloch y IBM Gates Glossary).
La representación esférica de Bloch sólo sirve para describir qubits individuades en un espacio tridimensional, pero no para comprender lo que pasa con múltiples qubits, dado que no puede mostrar entrelazamientos.
Círculo Unitario 2D Complejos Forma Polar
Esfera de Bloch19
Operación Matricial - Producto Tensorial
El producto tensorial es muy pertinente para operar sintéticamente
con los qubits, por eso se utiliza el llamado Producto de Kronecker.
En efecto, la operación binaria se aplica a dos (o más) matrices cualesquiera,
con dimensiones diferentes. Si A es una matriz de m x n y B es una matriz de p x q,
entonces el producto de Kronecker A⊗B es la matriz bloque mp x nq.
a11B
a21B
a31B
....
....
am1B
a21B
a22B
a32B
...
...
am2B
a31B
a32B
a33B
...
...
am3B
A⊗B =
...
...
...
...
...
...
am1B
am2B
am3B
...
...
amnB
Ejemplo: Sea A =[0 1] y B= [1 0 0]t, entonces al aplicar la operación matricial de Kroneker, se tiene:
Expresión Matemática de las Relaciones entre los Qubits
Un sistema de Estado Básico de n qubits se puede expresar como un producto tensorial de los estados básicos de sus componentes. Es decir, cada uno de los qubits es una componente individual del sistema. En otras palabras, el estado básico del sistema se puede ver como el producto tensorial de los estados básicos de las componentes de un qubit.
A continuación se ilustra un ejemplo con los pasos intermedios de cómo opera Kroneker sobre las componentes que un qubit:
Notación Sintética que Señala la Posición del $1$
Notación para señalar la posición del $1$ en un vector de la base canónica binaria, cuya dimensión es $2{n}$.
Entonces, sea $p∈\mathbb{N}$, tal que $p≤2^{n}$, donde se define la siguiente expresión binaria, $|p_{|2,2^{n}}〉$, que se describe a continuación:
Por tanto, cada estado básico corresponde a un vector de la base $C^{2n}$, dado por la notación $p≤2^{n}〉$
Ejemplo:
Nótese que en lenguajes de programación (Python o C o Javascript o cuando se utiliza el comando "split" para generar un arreglo, etc..). En ese caso, es necesario hacer una corrección partiendo desde $0$, porque en el presente artículo se usa la convención que empieza a contar desde la posición $0$.
Ejemplo:
Modo Numérico de Representar los Vectores Unitarios
En síntesis se puede utilizar la siguiente notación reducida para representar vectores unitarios con $n$ qubits:
Por ejemplo con $n=2$:
Por ejemplo con $n=3$ qubits:
La forma binaria del número $|6〉$ es $|110〉 ↔ 1·2^{2}+1·2^{1}+0·2^{0}$ y la carga de un registro cuántico con este valor se realiza preparando tres qubits en sus estados básicos:
Estado Producto y Entrelazamiento
Un conjunto de qubits está en Estado Producto si su estado puede expresarse como el producto tensorial de los estados de sus componentes. En caso contrario, se dice que está en Estado de Entrelazamiento.
Este fantasmal estado, conocido como entrelazamiento cuántico20, se produce en sistemas de dos o más qubits, cuando algunos qubits podrían formar un único sub-sistema, donde no es posible modificar el estado de un qubit, sin alterar el estado de los otros.
i) La expresión $[3]$ es un Estado No Básico de superposición, dado que es un sistema de más de un qubit. Es decir, se tiene más de una amplitud diferente de cero.
ii) Se comprueba que la sumatoria de las normas de los coeficientes al cuadrado es igual a 1.
iii) Al segundo miembro de la ecuación $[3]$, - que es como "una suma por diferencia" -, le aplicamos la multiplicación uno a uno de sus qubits con sus coeficientes asociados y demostramos que es un Estado Producto.
Demostración
Por demostrar que se cumple la igualdad, tomemos el segundo miembro de la expresión $[3]$
Esta multiplicación tensorial uno a uno de los factores se marcaron en amarillo y sus resultados parciales arriba con rojo. Luego, sumando los términos que se rotularon con el marco rojo se obtiene el primer miembro de la ecuación $[3]$:
Por tanto es un Estado Producto, dado que la expresión $[3]$, es factorizable, - bajo el producto tensorial- en los estados de sus componentes.
Estado Entrelazamiento:
Demostrar que la siguiente expresión de qubits representa un Estado Entrelazamiento:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|01〉+ |10〉)\qquad\qquad[4]$$
Demostración:
Por demostrar que la expresión no es un Estado Producto. Es decir, que no es posible expresar $[4]$ como el producto tensorial de los estados de sus componentes.
Está claro que es un sistema no básico de dos qubits y que cumple la condición que la suma de sus amplitudes al cuadrado es igual a uno.
Entonces, supongamos que existen coeficientes diferentes de cero que permiten factorizar o separar la expresión bajo el producto tensorial.
Contradicción, no es factorizable o separable bajo el producto tensorial. Dado que en la expresión $\alpha_0\alpha_2 \neq \alpha_1\alpha_3$, al menos uno de los coeficientes debe ser 0.
Por tanto, la expresión $[4]$ representa un Estado Entrelazamiento.
Es decir, no existen coeficientes $α_i ∈ C\quad \alpha_i\neq 0$, tales que cumplan o posibiliten la factorización de $[4]$. Esto implica que $[4]$ no puede describirse en función de los estados de los qubits que lo componen.
Los estados cuánticos de esta forma, - que se ilustra en el simulador en el siguiente párrafo -, son especiales y se conocen como Estados Bell. En efecto, cuando se mide cualquiera de los dos qubits, tiene una probabilidad de 50-50 de medir 0 o 1. Pero una vez que se haya realizado su medición en ese qubit, el otro remoto tiene un 100% de probabilidad de ser exactamente lo que midió el primer qubit.
Paralelismo Cuántico
Dos partículas subatómicas están en Estado de Entrelazamiento, sin considerar métrica o distancia, ni medios existente de comunicación, pero su comportamiento es como si estuvieran en ambos lados al mismo tiempo. En efecto, cuando una de las partículas colapsa hacia un estado cuántico, la otra partícula entrelazada colapsa hacia el mismo estado. Es decir, se produce un procesamiento simultáneo, en paralelo, que permite la evaluación de miles de combinaciones al mismo tiempo y que permite resultados nuevos e imprevisibles.
(Ver Algoritmo de Deutsch, que fue el primero en aprovechar el paralelismo inherente de los estados de superposición cuánticos.
Es necesario remarcar que la dimensión exponencial de los espacios vectoriales de Hilbert, son el instrumento matemático por excelencia que permitió tratar el paralelismo cuántico, porque interpreta un estado cuántico en superposición operando simultáneamente con todos sus $2^{n}$ vectores de $n$-qubits cada uno.
Así mismo, se recomienda consultar la extensión a n-qubit de este algoritmo cuántico, donde el matemático Richard Jozsa en 1992 contribuyó a mejorarlo, tomando el nombre de Algoritmo de Deutsch-Jozsa. Otro caso importante a consultar y comprender el famoso ejemplo de teletransportación cuántica entre Alice y Bob21.
La probabilidad de intervenir es bajísima, la criptografía cuántica cifra la información de una trasmisión en forma segura. Si alguien escucha, la información se modifica de inmediato, produciendo errores. De modo que no es posible recuperar su contenido.
Esta propiedad de paralelismo admite que una función de múltiples variables f(x1,x3,x3...,xn) que pueden ser operadas en forma simultánea con todas sus variables. Por tanto, supera al clásico sistema computacional basado en bits, dado que es posible tener un número exponencial de estados en un espacio reducido y el sistema cuántico realiza de una sola vez todas las computaciones posibles.
Por ejemplo, un algoritmo en computación clásica busca una carta determinada dentro de un naipe barajado, lo hace con un loop sobre un arreglo que lee secuencial o binariamente cada una de las cartas como una entrada de la rutina. No obstante, con un algoritmo cuántico lee todas las cartas simultáneamente, i.e. cada una de ellas como entrada del algoritmo y obviamente la velocidad de éxito es tiene un 100% de confianza con sólo una llamada.
A continuación, se esquematiza un simulador de donde se sacan 5 cartas aleatorias de un Naipe Inglés de 52 unidades.
Nótese que en la parte superior del tablero se localiza un maso de naipes de tapa azul, desde la cual se emula un loop secuencial de lectura de una función de computación clásica con bits.
En la parte inferior del tablero, se localizan cartas de tapas roja, donde también se emula la extración de la 5 cartas, pero con una función de entrada múltiple simultánea, i.e. de computación cuántica con qubits.
El lector puede desplegar y ocultar varias veces utilizando los botones Abrir y Cerrar o presionando sobre los masos de naipes en forma independiente.
Clásica
Cuántica
Abrir
5
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La forma más directa y sencilla de ilustrar esta propiedad con dos entradas, es con una variante de la transformación unitaria CNOT, que desarrolló David Deutsch del Instituto Matemático de la Universidad de Oxford y que actualmente es uno de los algoritmos pilares de la computación cuántica. (Ver Desarrollo Algoritmo de Deutsch más adelante)
Estados Cuánticos Frecuentes Importantes
Estados equipobables de un qubit. Paradoja de Bell, donde {$|+〉 , |-〉$} es también una notación utilizada frecuente de la Base de Hadamard.
Estado de Bell o Paradoja EPR (Einstein-Podolsky-Rosen: "A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Physical Review 47 (1935) 777-780).
El experimento planteado por EPR consiste en dos partículas que interactuaron en el pasado y que quedan en un estado entrelazado. La paradoja EPR está en contradicción con la Teoría de la Relatividad22, ya que aparentemente se transmite información de forma instantánea entre las dos partículas (Ver a continuación Simulador de Entrelazamiento Cuántico).
Distancia inmensurable
No existe medio de comunicación conocido entre ellos
Medir
Medir
Las partículas representadas por los dados en el simulador23, corresponden a un, -vector de más de un qubit-, Estado No Producto o Estado de Entrelazamiento. Es decir, es un estado que no es posible factorizar o separar su formulación matemática. Por tanto, los eventos no son independientes y la probabilidad de la medida, - probada experimentalmente-, es exactamente igual entre los qubits.
