Video Definición Algebra de Lie

Definición Algebra de Lie

Un Algebra de Lie $Mn(K)$ se define en un espacio vectorial sobre un campo $K$¹¹⁹. Específicamente es un espacio vectorial de matrices de orden $n×n$, dotado con una operación binaria propia $[\text{ }· \text{, · }]$ denominada Corchetes de Lie, donde dicha operación debe cumplir las siguientes propiedades⁹⁰:

i) Bilineal

$[\alpha X +\beta Y,Z]=\alpha[X,Z]+\beta[Y,Z] \land [Z,\alpha X + \beta Y]=\alpha[Z,X]+\beta[Z,Y]$

Donde $\alpha, \beta \in K$

ii) Antisimétrica

$([X, Y] = -[Y, X]) (\Rightarrow [X,X]=0)$

iii) Satisfacer la Identidad de Jacobi:

$([X, [Y, Z]] + [X, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0)$.

Luego, $Mn(K)$ es un álgebra asociativa no conmutativa con elemento unidad ¹²².

$$[\text{ }· \text{, · }]: Mn(K) × Mn(K) \longrightarrow Mn(K)$$

$$(X, Y) \longrightarrow [X, Y] = XY - YX$$

$$\text{ Donde } X,Y,Z \in Mn(K)$$

En el presente caso, se trabaja con matrices ortogonales sobre el espacio n-dimensional, donde el cuerpo $K$ en este documento siempre lo consideramos como los Reales o Complejos.

Es decir, conmutan los elementos, - que son matrices-, en un espacio de dimensión $n$, sobre un campo $K$

Se dice que $Mn(K)$ (o $\large{\mathfrak {g}}$) es un Algebra de Lie con esta operación Corchetes de Lie (medición o conmutador de dos matrices).

Toda Algebra de Lie de dimensión finita se obtiene fundamentalmente bajo esta forma.

Grupo de Lie $G$ $\longrightarrow$ Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$

Otro enfoque de la definición del Algebra de Lie, es a partir de un Grupo de Lie $G$ ⁸¹, en tanto es una variedad diferenciable topológica o una Variedad Suave ("Manifold" o superficie como un plano, un circulo, una esfera, u otras superficies suaves en diferentes dimensiones) ¹⁰⁵

Por tanto, un Grupo de Lie $(G,·)$ es:

• i) Un grupo dotado de una operación binaria ⁸⁰;


• ii) Adicionalmente, $G$ es una variedad topológica suave diferenciable, con una operación binaria propia (Corchete de Lie) que mapea de
  $$[·,·]:G \times G \longrightarrow G\\ (g_1,g_2)\longrightarrow g_1·g_2 $$
  Nótese que tanto el producto vectorial $G \times G$ es una variedad topólogica suave y $G$ es una variedad suave también, por tanto, se tiene un mapeo sobre variedades suaves, donde se garantiza una función inversa $inv:G \times G \longrightarrow G$ con $g \longrightarrow g^{-1}$.

En términos simples, una variedad es suave cuando la superficie no tiene quiebres y es homeomorfa a un parche en $R^n$.

Por ejemplo, el grupo $G=(R^n,+)$ tiene una estructura suave, porque si se operan dos vectores de $R^n$ se obtiene la suma de esos dos vectores, el cual es un vector resultante suave. Por otro lado, si aplica la función de multiplicar por $-1$ es también una función suave. De modo que $(R^n,+)$ es un grupo de Lie, abeliano y también llamado grupo n-dimensional de traslación.

Otro ejemplo simple de estructura suave es $S(1)=\unicode{123} z \in \mathbb {C} \text{ / } |z|=1 \unicode{125}$ que es un círculo unitario, donde $z_{\theta}$ es un grupo de Lie de rotación pasiva.

Sea $\mathbf {z_{\theta}}$ el operador lineal que utilizaremos en el ejemplo, el cual lo aplicamos a un vector cualquiera definido en el plano complejo $\mathbb {C}$ de la figura, de la forma $\mathbf {\vec v}=\overline {OQ}$ de ángulo $\alpha$. Es decir, al multiplicarlo vectorialmente por $\mathbf{\vec {z}}$, será rotado en un ángulo $\theta$, obteniendo un vector resultante $\mathbf{\vec w} $ cuyo ángulo con respecto al eje de la $x$, será de $\theta + \alpha$:

$$ \mathbf {\vec w = \vec z· \vec v} \text{, donde } \mathbf{|w|=|zv|=|v|} \text{, dado que } \mathbf{|z|}=1$$

Sea $v= \mathbf{e}^{i\alpha}\Rightarrow z· w = {e}^{i(\theta + \alpha)}$


Grupo de Lie Conmutativo en $S(1)$ ~ $U(1)$

En general, en toda la serie de publicaciones acerca del tema ¹²³, me he centrado en los Grupos de Lie que operan con matrices $n \times n$, tanto en los reales como en los complejos y cuya determinante es diferente de cero, donde el producto de estas matrices es también un ejemplo de variedad suave.

Es decir, matrices invertibles ($G=\unicode{123} M \in SO(n) \text{/} det(M)\neq 1 \land M^{T}M=M^{T}M=I\unicode{125}$), las cuales son globalmente clasificadas como $GL(n,\mathbb R)$ (General Linear Groups):

$$ GL=\unicode{123} \varphi:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^n | det(\varphi) \ne 0 \unicode{125} $$



Variedad (Manifold) $G$ ~ Espacio Tangente $M_n(K) = \large{\mathfrak {g}}$

En la figura, se representa una superficie que tiene la estructura algebraica de un grupo.

Por tanto, si se toma un par de elementos $g_1,g_2$ de esa variedad $G$ y se aplica su correspondiente operación binaria, se obtendrá una resultante $g_3$, que también pertenece a la variedad $G$, i.e. $g_1 · g_2=g_3, \text{ donde } \forall g_1,g_2,g_3 \in G$.

Así mismo, encontramos el elemento Identidad e $\in G$ , sobre el cual se saca el plano tangente de la superficie.

Este plano tangente es un Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$, cuyos generadores infinitesimales son el conjunto de matrices $\vec P=\unicode{123}X,Y,Z\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación. (Ver más adelante Generadores $SO(3)$)

Luego, desde una perspectiva de la geometría euclídea este grupo especial $G$ se conecta con un Algebra de Lie mediante el espacio tangente al punto Identidad de $G$, utilizando la operación binaria, - previamente definida -, Corchetes de Lie, i.e. se satisfacen las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con identidad de Jacobi.

Un ejemplo sencillo, es el Algebra de Lie que genera el grupo de rotación en $SO(2)$:

Algebra de Lie ~ Espacio Tangente $\mathfrak {g}$ ~ Elemento Identidad
La figura muestra un círculo contenido en $R^2$, con un vector longitud $1$ y ángulo $\theta$, donde el punto $q$ tiene asociada la matriz $M_{2 \times 2}(\theta)$, - que es la operador de rotación que constituye un Grupo de Lie en $SO(2)$ -, y la recta tangente en el punto $p=(1,0)$, - que corresponde al elemento Identidad -. Luego, la recta tangente es un Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$.

El conmutador $[XY]=XY - YX$ se considera como una medida. Nótese que actúan las operaciones ordinarias del álgebra de matrices, donde la multiplicación matricial no es conmutativa.

Efectivamente, el espacio vectorial de los generadores infinitesimales de un grupo⁸⁰ matricial de Lie conforma un Algebra de Lie en $SO(n)$⁸².(La propiedad de antisimetría es equivalente a: $[X,X]=XX-XX=0 = 0, \forall X\in g$).

Transformación desde $SO(n)$ hacia un Algebra de Lie

La operación es una transformación lineal de la forma:

$$[X,Y]: G × G\longrightarrow G \text{, donde } \forall X,Y,Z \in G$$
En otras palabras, el producto vectorial, - no sólo de vectores sino también matrices-, también está dentro de $G$. Por esa razón se le denomina el Algebra de Lie asociada al grupo $G$. ¹²⁸

Donde $G$ es un grupo de $SO(n)$. Es decir, la operación binaria Corchete de Lie, transforma un par ordenado de matrices desde el producto vectorial $G × G$ hacia una Algebra de Lie (Nuestra notación será $g \lor Mn(K)$, ambos indistintamente).

En otras palabras, $G$ es un grupo especial ortogonal de dimensión $n$¹⁰⁹:

$$G=\unicode{123} M \in SO(n) \text{/} det(M)=1 \land M^{T}M=M^{T}M=I\unicode{125}$$

Conexión Grupo de Lie con Mapeo Exponencial

Una conexión elemental de los Grupos de Lie con las Algebras de Lie, se realiza entonces mediante el mapeo exponencial:

$$Exp: SO(n)\longrightarrow \mathit{so(n)}$$

Donde el conjunto de los generadores infinitesimales $P=\unicode{123}X,Y,Z\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación definen un Algebra de Lie. (Ver Grupo de Lie - Enfoque Infinitesimal y Grupo de Lie - Enfoque Exponencial)

Obsérvese que este mapeo exponencial nos indica básicas propiedades para transformar la suma hacia la descomposición en factores de un producto. Es decir, propiedades que nos ayudarán a comprender las rotaciones infinitesimales de la forma:

$$ \begin{bmatrix}R(\frac{\theta}{n})\end{bmatrix}^n=(I+A)^n =\left[ \begin{array}{c} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} +(\frac{\theta}{n}) \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{array} \right]^n $$
(Ver Enfoque Infinitesimal~ Aplicando Serie de Taylor)

En efecto, se demuestra desde la serie de Taylor de $\large{e}^X$, junto a la propiedad antisimétrica de los corchetes de Lie $([XY]=-[YX])$ conforman una relación simple mediante el mapeo exponencial. (Serie que es convergente para matrices $M_{n \times n} \in SO(n)$, tanto en $\Bbb R$ como $ \Bbb C$):

Luego, el conjunto especial de matrices ortogonales de $2 \times 2, SO(2)$, - i.e. en dos dimensiones.

En $SO(2)$ la operación Corchete de Lie es trivial porque con un sólo generador su producto es idénticamente cero (i.e. la rotación que da donde mismo $X \Rightarrow [XX]=0$), entonces todo espacio vectorial se convierte en un álgebra de Lie Abeliana trivial i.e. Conmutan completamente). Las rotaciones conmutan, como se ilustra en la siguiente figura:

Rotación impar($-1$) y par($+1$) Dimensión 2

Rotación Par($+1$) Dimensión 2

Una propiedad importante de la definición de la operación es la antisimetría:

Recordar que esta definición de la operación Corchete de Lie trabaja sobre un espacio vectorial de matrices, donde la multiplicación entre matrices no es conmutativa. En este caso, se ilustra con matrices en $SO(2) \text{ y } $SO(3)$ $.

La finalidad de iniciar con los los grupos de Lie $SO(2)$ y $SO(3)$, es que son objetos geométricos visualizables en el plano euclideano, que nos llevan al marco general de los siguientes pasos abstractos que se aplican con el Algebra de Lie.¹²⁰

La rotación de objetos en un espacio tridimensional se realiza desde $SO(2)$, puesto que, - por ejemplo en la figura -, se está rotando el objeto en torno al eje $z$ en la planta, el cual apunta hacia arriba, i.e. se está rotando un objeto sólo en dos dimensiones en el plano $xy$. Lo mismo con las otras rotaciones independientes localizadas en la parte superior del robot que se van encadenando.

$SO(2)$ Brazo Robótico en $R^3$.Múltiples Rotaciones

Corchetes de Lie ~ Levi-Civita

Utilizando el símbolo Levi-Civita¹⁰⁷ en dos dimensiones, donde $+1$(par) representa la rotación en el sentido de los punteros del reloj y $-1$(impar) contrario al sentido de los punteros del reloj:

$$ \epsilon _{ij} = \begin{cases} +1, & \text{si (ij) es (1,2)} \\\\ -1, & \text{si (ij) es (2,1)} \end{cases} $$

La rotación de matrices $M$ (frecuentemente denotada también como $R_{\theta}$) constituye una representación de los $SO(3)$ ('Special Orthogonal Group of Dimension $3$').

Luego, las matrices $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$, unido a la matriz identica $I=\mathbf {1}$, que describiremos a continuación son también denominadas Generadores Infinitesimales de $SO(3)$, dado que toda rotación de un ángulo infinitesimal $d\theta$ puede ser expresado como:

$$M(d\theta,\vec \mu)=\mathbf {1} +(d\theta) \mu \vec P$$
$$M(d\theta,\vec \mu)=\mathbf {1} +(d\theta)(\mu_{1}X_1+\mu_{2}X_2 +\mu_{3}X_3)$$
$$ \text{Donde }\vec \mu=(\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3})\quad \land \quad \mathbf {1}=I$$

Estos generadores forman una base vectorial para la representación matricial del Algebra de Lie SO(3), en este caso el conjunto de todas las matrices antisimétricas de $3 \times 3$ .Incluyendo la matriz identidad $I$.

$$I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$  

Símbolo Levi-Civita 3-dimensional

Por ejemplo:

$[X_1 X_2]=\epsilon _{123}X_3 \text{, } [X_2 X_3]=\epsilon_{231} X_1 \text{, } [X1,X3]=\epsilon_{132} X2 \dots$, etc. como se detallará más adelante.

Nótese que en la ingeniosa combinación de la notación Levi-Civita, la permutación de los dos primeros subíndices ${ij..}$ de $\epsilon$ corresponden a los subíndices de la matrices que están dentro de los corchetes $[X_i X_j]$ y el último $k$ a la matriz resultante. (Sin considerar aún que $\epsilon _{ijk}$ puede tomar los valores $-1,0,1$).

Es decir, $\epsilon _{123}=\epsilon _{231}=\epsilon _{312}=1$ y $\epsilon _{132}=\epsilon _{321}=\epsilon _{213}=-1$

La notación de Levi-Civita es muy útil para la comprensión del cálculo tensorial y facilita considerablemente a los físicos en sus trabajos con operaciones vectoriales, tanto en el ámbito experimental como teórico. En síntesis, esta notación es una poderosa herramienta para derivar complejos vínculos vectoriales.

Permutación Par o Cíclica

Permutación Impar o Anticíclica

Así mismo se mostrará que las permutaciones $\epsilon _{ijk}$ cuando son $+1$(par), representan la rotación en el sentido de los punteros del reloj, $-1$ (impar) lo contrario al sentido de los punteros del reloj y $0$ en los otros casos. Dicho de otro modo, hay dos tipos de permutaciones, llamadas pares e impares, según el número de trasposiciones en que se descompongan.

Ahora, en $SO(3)$,- i.e. en tres dimensiones-, los elementos generadores infinitesimales $P=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación constituyen un Algebra de Lie:


$$X_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$X_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$X_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

 +   Complemento Anexo
¿Cómo se Deduce $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$ en $\mathbf {SO(3)}$?

x

Deducción de los Generadores Infinitesimales $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$ $\mathbf {SO(2)\mapsto SO(3)}$ Los grupos en $SO(3)$ consisten en rotaciones en tres dimensiones, que en este caso se configuraron a partir de la matriz $M_{2 \times 2} \in SO(2)$ aumentada con los vectores canónicos. $$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto x \mathbf{\vec i} + y \mathbf{\vec j} + z \mathbf{\vec k} $$ Ciertamente la matriz real $M_{2\times 2}$, - sobre un ángulo de rotación $\theta$ -, en torno a un origen o centro de rotación en el plano cartesiano, constituye un generador del Grupo de Lie, i.e. un grupo especial ortogonal de dimensión 2: $$M_{2 \times 2}(\theta)=\begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{pmatrix} $$ A partir de esta matriz de base $M_{2 \times 2}(\theta)$, se construyen las tres matrices generadoras en $SO(3)$, que hemos denotado como $G$, que son: $$G=\unicode{123} M_{x}(\alpha), M_{y}(\beta), M_{z}(\gamma) \unicode{125}$$ Ilustremos la extensión mediante un operador $M_{3 \times 3}(\beta)$ en el plano euclidiano que al ser aplicado a un vector aumentado de coordenadas rectangulares $(x_1,x_2,1)$, - localizado en torno a un punto de origen $0$ -, lo hace rotar en un ángulo $\beta$ hacia un vector $X'$ de coordenadas $(x_1',x_2',1)$. En otros términos, se aplica el mismo procedimiento previo de SO(2), i.e. una matriz aumentada $M_{3 \times 3}$ que multiplicada por el vector $X$ obtenga estas nuevas coordenadas en $X'$, i.e. de esta forma obtendremos un sistema de coordenadas sobre la variedad SO(3): $X'=\qquad\qquad\qquad$?$\qquad\qquad\qquad X$ $$ \begin{pmatrix} x_{11}'\\ x_{21}' \\ 1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11}\\ x_{21} \\ 1 \\ \end{pmatrix} $$ Este conjunto de matrices cumple las condiciones de rotación en el plano euclidiano y constituye un Grupo de Lie en $SO(3)$. Rotaciones Independientes en Torno a Ejes 121 También denotadas y descritas como se señala a continuación: $Rx(\alpha)$ rota el plano yz alrededor del origen por un ángulo $\alpha$. $Ry(\beta)$ rota el plano xz alrededor del origen por un ángulo $\beta$. $Rz(\gamma)$ rota el plano xy alrededor del origen por un ángulo $\gamma$. Es decir, el grupo completo $G \in SO(3)$ consiste en el producto de estas matrices, las cuales al multiplicarlas por sus transpuestas son iguales a la matriz identidad $I$. Por tanto, cumplen con la condición de ortogonalidad en lo reales: $$M_{x}(\alpha)= \begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0}\\ \bbox[yellow]{0} & cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ \bbox[yellow]{0} & -sin(\alpha) & cos(\alpha)\\ \end{pmatrix} $$ $$M_{y}(\beta)= \begin{pmatrix} cos(\beta) & \bbox[yellow]{0} & -sin(\beta) \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0}\\ sin(\beta) & \bbox[yellow]{0} & cos(\beta)\\ \end{pmatrix} $$ $$M_{z}(\gamma)= \begin{pmatrix} cos(\gamma) & sin(\gamma) & 0 \\ -sin(\gamma) & cos(\gamma) & 0 \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1}\\ \end{pmatrix} $$ Las rotaciones se realizan sobre los ejes de coordenadas Cartesianas en el espacio tridimensional euclidiano, se identifican los ángulos de rotación en torno a cada eje, tomando como referencia el giro en torno al eje $z$ como $\gamma$, el giro en torno al eje $y$ como $\beta$, y el giro en torno al eje $x$ como $\alpha$. Nótese que la matriz $M_{2 \times 2}\in SO(2)$ se aumenta introduciendo los vectores canónicos: en el caso $M_{x}(\alpha)$, se introdujo $\vec i$ en la primera fila y primera columna; en $M_{y}(\beta)$ se introdujo $\vec j$ en la segunda fila y segunda columna; y en $M_{z}(\gamma)$ se introdujo $\vec k$ en la tercera fila y tercera columna. Estas tres rotaciones son independientes, las unas de las otras. Luego, al diferenciar cada una de estas tres matrices y evaluarlas en $\theta=0$, se obtienen los generadores infinitesimales de rotación, en torno a cada uno de los ejes respectivamente $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$ en $SO(3)$. Es decir, $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$, el cual es un generador unitario del Algebra de Lie en tres dimensiones, se obtiene de las derivadas de cada una de estas tres matrices $M_{x}(\alpha), M_{y}(\beta), M_{z}(\gamma)$ En efecto, $$\frac{dG}{d\theta} \mid_{\theta=0}$$ $$(M_{x}(0))'=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & -sin(0) & -cos(0)\\ 0 & cos(0) & sin(0)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}=X_{1} $$ $$(M_{y}(0))'=\begin{pmatrix} -sin(0) & 0 & -cos(0) \\ 0 & 0 & 0\\ cos(0) & 0 & -sin(0)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}=X_{2} $$ $$(M_{z}(0))'=\begin{pmatrix} -sin(0) & -cos(\gamma) & 0 \\ cos(0) & -sin(0) & 0\\ 0 & -1 & 0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}=X_{3} $$ Fin de la Deducción de $\vec P$ De esa forma se demuestra cómo se deduce el generador unitario del Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$ en tres dimensiones $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$, el cual se mapea como $SO(2)\mapsto SO(3)$, i.e. aumentandando la matriz $M_{2\times 2}$ con los vectores canónicos y obteniendo tres matrices $M_{3\times 3}$ de rotación, en torno a cada eje. Posteriormente, se deriva cada una de las matrices de rotación $G=\unicode{123} M_{x}(\alpha), M_{y}(\beta), M_{z}(\gamma) \unicode{125}$ y se obtiene $\vec P$.

Retomando el punto de Conexión Grupo de Lie con Mapeo Exponencial, obsérvese que una rotación infinitesimal de $SO(3)$ se puede expresar como $[L11]$: $$M(d\theta,\vec \mu)=1 +(d\theta) \mu \vec P\qquad\quad [L11]$$ Esto, nos permite aproximar $d\theta$ en términos finitos como: $$\theta \approx n\Delta \theta$$ De donde aplicando este pequeño incremental en la rotación, i.e. sustituyendo $\Delta \theta$ por $d\theta$ en $[L11]$, se tiene la siguiente expresión finita: $$M(\Delta \theta,\vec \mu)\approx 1 + \frac{\theta}{n} (\mu \vec P)$$ $$\Rightarrow$$ $$M(\theta,\vec \mu)= \left[1 + \frac{\theta}{n} (\mu \vec P) \right]^n\qquad\quad[L12]$$ $$\Rightarrow$$ $$M(\theta,\vec \mu)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\theta^n}{n!}(\mu \vec L)^n=\large{e}^{(\mu \vec L)^n}$$ Esta expresión $[L12]$, nos induce hacia la exponenciación de $M(\theta)$, utilizando la forma análoga que se obtiene en los números reales: $\lim\limits_{n\to\infty}\Big(1+\frac{x}{n}\Big)^n=\large{e}^x$, donde $x\in R$ En efecto, este resultado obtenido en los reales lleva al desarrollo de la exponenciación con matrices antisimétricas, tal como se trató en el sub-capítulo Conexión Grupo de Lie con Mapeo Exponencial y en sus respectivos videos: Grupo de Lie~Enfoque Geométrico  Puente: Enfoque Infinitesimal ~ Taylor  Grupo de Lie~Enfoque Exponencial

$$[X1,X2]=X3$$	$$[X1,X3]=-X2$$	$$[X2,X1]=-X3$$
$$[X2,X3]=X1$$	$$[X3,X1]=X2$$	$$[X3,X2]=-X1$$

A fin de simplificar las operaciones de permutación, se recurre a la utilización del símbolo Levi-Civita en tres dimensiones:

$$ \epsilon _{ijk} =\begin{cases}+1, & \text{si (ijk) es (1,2,3)(2,3,1)(3,1,2)} \\\\ -1, & \text{si (ijk) es (3,2,1)(2,1,3)(1,2,3)} \\\\ \text{ }0, & \text{si (ijk) de otro modo i=j o j=k o k=i} \end{cases} $$

Matriz Dimensión 3 con Símbolo de Levi-Civita¹²⁵

Es decir, en vez de multiplicar explícitamente las matrices generadoras de $3\times 3$, sintetizamos con los indicadores del símbolo de Levi-Civita, donde $\epsilon=1$ si es una permutación par(+1), $\epsilon=-1$ si es una permutación impar(-1) y $\epsilon=0$ en cualquier otro caso. Ilustremos los casos:

$$[X_1,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{111}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{112}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{113}}X_3=0\\ $$	$$[X_1,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{121}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{122}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {1}}{\epsilon_{123}}X_3=X_3\Large\color{\green}{\checkmark}\\ $$	$$[X_1,X_3]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {0}}{\epsilon_{131}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{1}{\epsilon_{132}}X_2=X_2\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{133}}X_3=0\\ $$
$$[X_2,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{211}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{212}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {-1}}{\epsilon_{213}}X_3=-X_3\Large\color{\green}{\checkmark}\\ $$	$$[X_2,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{221}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{222}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{223}}X_3=0\\ $$	$$[X_2,X_3]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {1}}{\epsilon_{231}}X_1=X_1\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{232}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{233}}X_3=0\\ $$
$$[X_3,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {0}}{\epsilon_{311}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{1}{\epsilon_{312}}X_2=X2\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{313}}X_3=0\\ $$	$$[X_3,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {-1}}{\epsilon_{321}}X_1=-X_1\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{322}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{323}}X_3=0\\ $$	$$[X_3,X_3]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{331}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{332}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{333}}X_3=0\\ $$
Nótese que de acuerdo con Levi-Civita en tres dimensiones: $\epsilon _{123},\epsilon_{231},\epsilon _{312}, \epsilon _{132},\epsilon _{312},\epsilon _{213} \text{ son }\ne 0$

Luego, la matriz asociada a los valores resultantes de las permutaciones del conjunto de generadores infinitesimales $P=\unicode{123} X_1, X_2, X_3\unicode{125}$ aplicando el símbolo Levi-Civita $\epsilon_{ijk}$ se señala en la siguente tabla:

Las Permutaciones par son 123, 231, 312

Las Permutaciones impar son 132,312, 213

Por tanto, de esa forma se puede representar todas la permutaciones tridimensionales del Algebra de Lie, desde $SO(3)$. Una excelente ilustración es el Cubo de Rubik, cuya imagen animada se muestra a continuación, dado que es un ejemplo de un grupo de permutación. Los grupos de simetría $SO(n)$ son grupos de permutación, donde cada una de las rotaciones, en este caso con alguna de las caras del Cubo de Rubik-, constituye una permutación. Estas rotaciones forman un conjunto generador del Algebra de Lie ¹²¹.

Cubo de Rubik
Ejemplo de Grupo Simétrico de Permutación

Pauli - Algebra de Lie - Robótica

Grupo de Lie - Enfoques Geométrico y Exponencial 

Grupo de Lie ~ Complementario a Matrices de Pauli y Algebra de Lie