Definición Algebra de Lie $M_{n}(K)$

Capítulo del Documento de Base:
Puertas Cuánticas de Pauli
Base de un Algebra de Lie

José Enrique González Cornejo
v.9.1/Abril 2021

Video Definición Algebra de Lie

Nota: Definición como Variedad Diferenciable

Nota extraída del artículo: Variedad Diferenciable   x

Grupo de Lie $G$ $\longrightarrow$ Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$141

Introducción Otro enfoque de la definición del Algebra de Lie, es a partir de un Grupo de Lie $G$ 81, en tanto es una variedad diferenciable topológica o una Variedad Suave ("Manifold" o superficie como un plano, un círculo, una esfera, u otras superficies suaves en diferentes dimensiones) 105 Por tanto, un Grupo de Lie $(G,·)$ es: i) Un grupo dotado de una operación binaria 80; ii) Adicionalmente, $G$ es una variedad topológica suave diferenciable, con una operación binaria propia (Corchete de Lie) que mapea, como se describe a continuación: $$[·,·]:G \times G \longrightarrow G\\ (g_1,g_2)\mapsto g_1·g_2 $$ Nótese que tanto el producto vectorial $G \times G$ es una variedad topológica suave y $G$ es una variedad suave también, por tanto, se tiene un mapeo sobre variedades suaves, donde se garantiza una función inversa $inv:G \times G \longrightarrow G$ con $g \mapsto g^{-1}$, que también es una variedad suave. En términos simples, una variedad es suave cuando la superficie no tiene quiebres y es homeomorfa a un parche en $R^n$. Variedad Suave (o lisa) vs Variedad No Suave (quebrada)  Ejemplos Estructuras Suaves Por ejemplo, el grupo $G=(R^n,+)$ tiene una estructura suave, porque si se operan dos vectores de $R^n$ se obtiene la suma de esos dos vectores, el cual es un vector resultante suave. Por otro lado, si aplica la función de multiplicar por $-1$ es también una función suave. De modo que $(R^n,+)$ es un grupo de Lie, abeliano y también llamado grupo n-dimensional de traslación. Otro ejemplo simple de estructura suave es $S(1)=\unicode{123} z \in \mathbb {C} \text{ / } |z|=1 \unicode{125}$ que es un círculo unitario, donde $z_{\theta}$ es un grupo de Lie de rotación pasiva. Sea $\mathbf {z_{\theta}}$ el operador lineal que utilizaremos en el ejemplo, el cual lo aplicamos a un vector cualquiera definido en el plano complejo $\mathbb {C}$ de la figura, de la forma $\mathbf {\vec v}=\overline {OQ}$ de ángulo $\alpha$. Es decir, al multiplicarlo vectorialmente por $\mathbf{\vec {z}}$, será rotado en un ángulo $\theta$, obteniendo un vector resultante $\mathbf{\vec w} $ cuyo ángulo con respecto al eje de la $x$, será de $\theta + \alpha$: $$ \mathbf {\vec w = \vec z· \vec v} \text{, donde } \mathbf{|w|=|zv|=|v|} \text{, dado que } \mathbf{|z|}=1$$ Sea $v= \mathbf{e}^{i\alpha}\Rightarrow z· w = {e}^{i(\theta + \alpha)}$ Grupo de Lie Conmutativo en $S(1)$ ~ $U(1)$ En general, en toda la serie de publicaciones acerca del tema 123, me he centrado en los Grupos de Lie que operan con matrices $n \times n$, tanto en los reales como en los complejos y cuya determinante es diferente de cero, donde el producto de estas matrices es también un ejemplo de variedad suave. Es decir, matrices invertibles ($G=\unicode{123} M \in SO(n) \text{/} det(M)\neq 0 \land M^{T}M=M^{T}M=I\unicode{125}$), las cuales son globalmente clasificadas como $GL(n,\mathbb R)$ (General Linear Groups): $$ GL=\unicode{123} \varphi:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^n | det(\varphi) \ne 0 \unicode{125} $$ Variedad (Manifold) $G$ ~ Espacio Tangente $M_n(K) = \large{\mathfrak {g}}$ En la figura, se representa una superficie que tiene la estructura algebraica de un grupo. Por tanto, si se toma un par de elementos $g_1,g_2$ de esa variedad $G$ y se aplica su correspondiente operación binaria, se obtendrá una resultante $g_3$, que también pertenece a la variedad $G$, i.e. $g_1 · g_2=g_3, \text{ donde } \forall g_1,g_2,g_3 \in G$. Así mismo, encontramos el elemento Identidad e $\in G$ , sobre el cual se saca el plano tangente de la superficie. Este plano tangente es un Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$, cuyos generadores infinitesimales son el conjunto de matrices $\vec P=\unicode{123}X,Y,Z\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación. (Ver Generadores $SO(3)$) Luego, desde una perspectiva de la geometría euclídea este grupo especial $G$ se conecta con un Algebra de Lie mediante el espacio tangente al punto Identidad de $G$, utilizando la operación binaria, - previamente definida -, Corchetes de Lie, i.e. se satisfacen las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con identidad de Jacobi. En otras palabras, $G$ es un grupo de Lie, su Algebra de Lie, es el espacio tangente en la identidad $I$. Geométricamente la operación binaria corchete de Lie surge ahí de manera natural entre campos de vectores, i.e. $[X Y] = XY - Y X$ mide la variación de la variable $Y$ cuando se desplaza por las curvas integrales de $X$. Un ejemplo sencillo, es el Algebra de Lie que genera el grupo de rotación en $SO(2)$: Algebra de Lie ~ Espacio Tangente $\mathfrak {g}$ ~ Elemento Identidad La figura muestra un círculo contenido en $R^2$, con un vector longitud $1$ y ángulo $\theta$, donde el punto $q$ tiene asociada la matriz $M_{2 \times 2}(\theta)$, - que es la operador de rotación que constituye un Grupo de Lie en $SO(2)$ -, y la recta tangente en el punto $p=(1,0)$, - que corresponde al elemento Identidad -. Luego, la recta tangente es un Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$.

Ver artículo: Acerca de la Determinante de una Matriz ~ Apuntes

El conmutador $[XY]=XY - YX$ se considera como una medida. Nótese que actúan las operaciones ordinarias del álgebra de matrices donde la multiplicación matricial no es conmutativa.

Efectivamente, el espacio vectorial de los generadores infinitesimales de un grupo⁸⁰ matricial de Lie conforma un Algebra de Lie en $SO(n)$⁸².(La propiedad de antisimetría es equivalente a: $[X,X]=XX-XX=0 = 0, \forall X\in g$).

Transformación desde $SO(n)$ hacia un Algebra de Lie

La operación es una transformación lineal de la forma:

$$[X,Y]: G × G\longrightarrow G \text{, donde } \forall X,Y,Z \in G$$
En otras palabras, el producto vectorial, - no sólo de vectores sino también matrices-, también está dentro de $G$. Por esa razón se le denomina el Algebra de Lie asociada al grupo $G$. ¹²⁸

Donde $G$ es un grupo de $SO(n)$. Es decir, la operación binaria Corchete de Lie, transforma un par ordenado de matrices desde el producto vectorial $G × G$ hacia una Algebra de Lie (Nuestra notación será $g \lor Mn(K)$, ambos indistintamente).

En otras palabras, $G$ es un grupo especial ortogonal de dimensión $n$¹⁰⁹:

$$G=\unicode{123} M \in SO(n) \text{/} det(M)=1 \land M^{T}M=M^{T}M=I\unicode{125}$$

Conexión Grupo de Lie con Mapeo Exponencial

Una conexión elemental de los Grupos de Lie con las Algebras de Lie, se realiza entonces mediante el mapeo exponencial:

$$Exp: SO(n)\longrightarrow \mathit{so(n)}$$

Efectivamente, cuando se trabaja sobre los números complejos con la matriz $X \in SO(n)$ como exponente de la constante $\large{e}$, se facilitan una gran cantidad de propiedades lineales. Nótese que $X^0=I$, la serie de potencias siempre converge estando la exponencial de $X=X_{1 \times 1}$ bien definida.

Donde el conjunto de los generadores infinitesimales $\vec P=\unicode{123}X,Y,Z\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación definen un Algebra de Lie. (Ver Grupo de Lie - Enfoque Infinitesimal y Grupo de Lie - Enfoque Exponencial).

Obsérvese que este mapeo exponencial nos indica básicas propiedades para transformar la suma hacia la descomposición en factores de un producto. Es decir, propiedades que nos ayudarán a comprender las rotaciones infinitesimales de la forma:

$$ \begin{bmatrix}R(\frac{\theta}{n})\end{bmatrix}^n=(I+A)^n =\left[ \begin{array}{c} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} +(\frac{\theta}{n}) \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{array} \right]^n $$
(Ver Enfoque Infinitesimal~ Aplicando Serie de Taylor)

En efecto, se demuestra desde la serie de Taylor de $\large{e}^X$, junto a la propiedad antisimétrica de los corchetes de Lie $([XY]=-[YX])$ conforman una relación simple mediante el mapeo exponencial. (Serie que es convergente para matrices $M_{n \times n} \in SO(n)$, tanto en $\Bbb R$ como $ \Bbb C$):

Luego, el conjunto especial de matrices ortogonales de $2 \times 2, SO(2)$, - i.e. en dos dimensiones. Si se define la operación Corchete de Lie como idénticamente cero (i.e. la rotación que da donde mismo), entonces todo espacio vectorial se convierte en un álgebra de Lie Abeliana trivial i.e. Conmutan completamente). Si no es $0$, significa que las rotaciones conmutan, como se ilustra en la siguiente figura:

Rotación impar($-1$) y par($+1$) Dimensión 2

Rotación Par($+1$) Dimensión 2

Una propiedad importante de la definición de la operación es la antisimetría:

Recordar que esta definición de la operación Corchete de Lie trabaja sobre un espacio vectorial de matrices, donde la multiplicación entre matrices no es conmutativa. En este caso, se ilustra con matrices en $SO(2) \text{ y } $SO(3)$ $.

La finalidad de iniciar con los grupos de Lie $SO(2)$ y $SO(3)$, es que son objetos geométricos visualizables en el plano euclidiano, que nos llevan al marco general de los siguientes pasos abstractos que se aplican con el Algebra de Lie.¹²⁰

La rotación de objetos en un espacio tridimensional se realiza desde $SO(2)$, puesto que, - por ejemplo en la figura -, se está rotando el objeto en torno al eje $z$ en la planta, el cual apunta hacia arriba, i.e. se está rotando un objeto sólo en dos dimensiones en el plano $xy$. Lo mismo con las otras rotaciones independientes localizadas en la parte superior del robot que se van encadenando.

$SO(2)$ Brazo Robótico en $R^3$.Múltiples Rotaciones

Corchetes de Lie ~ Levi-Civita

Utilizando el símbolo Levi-Civita¹⁰⁷ en dos dimensiones, donde $+1$(par) representa la rotación en el sentido de los punteros del reloj y $-1$(impar) contrario al sentido de los punteros del reloj:

$$ \epsilon _{ij} = \begin{cases} +1, & \text{si (ij) es (1,2)} \\\\ -1, & \text{si (ij) es (2,1)} \end{cases} $$

La rotación de matrices $M$ (frecuentemente denotada también como $R_{\theta}$) constituye una representación de los $SO(3)$ ('Special Orthogonal Group of Dimension $3$').

Luego, las matrices $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$, unido a la matriz identica $I=\mathbf {1}$, que describiremos a continuación son también denominadas Generadores Infinitesimales de $SO(3)$, dado que toda rotación de un ángulo infinitesimal $d\theta$ puede ser expresado como:

$$M(d\theta,\vec \mu)=\mathbf {1} +(d\theta) \mu \vec P$$
$$M(d\theta,\vec \mu)=\mathbf {1} +(d\theta)(\mu_{1}X_1+\mu_{2}X_2 +\mu_{3}X_3)$$
$$ \text{Donde }\vec \mu=(\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3})\quad \land \quad \mathbf {1}=I$$

Estos generadores forman una base vectorial para la representación matricial del Algebra de Lie SO(3), en este caso el conjunto de todas las matrices antisimétricas de $3 \times 3$ .Incluyendo la matriz identidad $I$.

$$I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$SO(3)$:Rotación Tridimensional

Símbolo Levi-Civita 3-dimensional

En síntesis, se mostrará que aplicar a los generadores infinitesimales $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2, X_3\unicode{125}$ el símbolo de Levi-Civita, implica que:

$$[X_i\text{ }X_j]=\epsilon _{ijk}X_k\qquad\quad[1]$$

Por ejemplo:

$[X_1 X_2]=\epsilon _{123}X_3 \text{, } [X_2 X_3]=\epsilon_{231} X_1 \text{, } [X1,X3]=\epsilon_{132} X2 \dots$, etc. como se detallará más adelante.

Nótese que en la ingeniosa combinación de la notación Levi-Civita, la permutación de los dos primeros subíndices ${ij..}$ de $\epsilon$ corresponden a los subíndices de la matrices que están dentro de los corchetes $[X_i X_j]$ y el último $k$ a la matriz resultante. (Sin considerar aún que $\epsilon _{ijk}$ puede tomar los valores $-1,0,1$).

Es decir, $\epsilon _{123}=\epsilon _{231}=\epsilon _{312}=1$ y $\epsilon _{132}=\epsilon _{321}=\epsilon _{213}=-1$

La notación de Levi-Civita es muy útil para la comprensión del cálculo tensorial y facilita considerablemente a los físicos en sus trabajos con operaciones vectoriales, tanto en el ámbito experimental como teórico. En síntesis, esta notación es una poderosa herramienta para derivar complejos vínculos vectoriales.

Permutación Par o Cíclica

Permutación Impar o Anticíclica

Así mismo, se mostrará que las permutaciones $\mathbf {\epsilon _{ijk}}$ cuando son $+1$(par), representan la rotación en el sentido de los punteros del reloj, $-1$ (impar) lo contrario al sentido de los punteros del reloj y $0$ en los otros casos. Dicho de otro modo, hay dos tipos de permutaciones, llamadas pares e impares, según el número de trasposiciones en que se descompongan.

Ahora, en $SO(3)$,- i.e. en tres dimensiones-, los elementos generadores infinitesimales $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación constituyen un Algebra de Lie:


$$X_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$X_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$X_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

x

Deducción de los Generadores Infinitesimales $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$ $\mathbf {SO(2)\mapsto SO(3)}$ Video: Deducción Generadores $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$ Los grupos en $SO(3)$ consisten en rotaciones en tres dimensiones, que en este caso se configuraron a partir de la matriz $M_{2 \times 2} \in SO(2)$ aumentada con los vectores canónicos. $$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto x \mathbf{\vec i} + y \mathbf{\vec j} + z \mathbf{\vec k} $$ Ciertamente la matriz real $M_{2\times 2}$, - sobre un ángulo de rotación $\theta$ -, en torno a un origen o centro de rotación en el plano cartesiano, constituye un generador del Grupo de Lie, i.e. un grupo especial ortogonal de dimensión 2: $$M_{2 \times 2}(\theta)=\begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{pmatrix} $$ A partir de esta matriz de base $M_{2 \times 2}(\theta)$, se construyen las tres matrices generadoras en $SO(3)$, que hemos denotado como $G$, que son: $$G=\unicode{123} M_{x}(\alpha), M_{y}(\beta), M_{z}(\gamma) \unicode{125}$$ Equivalentemente, se utiliza la notación: $$G=\unicode{123} R_{x}(\alpha), R_{y}(\beta), R_{z}(\gamma) \unicode{125}$$ Para la formalización de la rotación de la tres matrices de $G$ en el espacio $\mathbb R^3$, basta sólo con la posición de los vectores unitarios, dado que todo vector es múltiplo de alguno de ellos. Con estos vectores, - y sus operadores matriciales-, se conforma la esfera unitaria. $$ S^2=\unicode{123}(x,y,z)\in \mathbb R^3 \text{ / } x^2 + y^2 + z^2=1\unicode{125} $$ Permutando cíclicamente los ejes $\vec x, \vec y, \vec z$, obtenemos las representaciones matriciales correspondientes a rotaciones respecto a los ejes. Luego, las matrices de rotación del espacio $\mathbb R^3$ son matrices $3\times 3$, ortogonales y de determinante $1$, i.e. este conjunto tiene estructura de grupo $SO(3)$. En conclusión, el giro es en $SO(2)$ y la acción de rotar la efectúan los elementos del grupo $SO(3)$ Ilustremos la extensión mediante un operador $M_{3 \times 3}(\beta)$ en el plano euclidiano que al ser aplicado a un vector aumentado de coordenadas rectangulares $(x_1,x_2,1)$, - localizado en torno a un punto de origen $0$ -, lo hace rotar en un ángulo $\beta$ hacia un vector $X'$ de coordenadas $(x_1',x_2',1)$. En otros términos, se aplica el mismo procedimiento previo de SO(2), i.e. una matriz aumentada $M_{3 \times 3}$ que multiplicada por el vector $X$ obtenga estas nuevas coordenadas en $X'$, i.e. de esta forma obtendremos un sistema de coordenadas sobre la variedad SO(3): $X'=\qquad\qquad\qquad$?$\qquad\qquad\qquad X$ $$ \begin{pmatrix} x_{11}'\\ x_{21}' \\ 1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11}\\ x_{21} \\ 1 \\ \end{pmatrix} $$ Este conjunto de matrices cumple las condiciones de rotación en el plano euclidiano y constituye un Grupo de Lie en $SO(3)$. Rotaciones Independientes en Torno a Ejes 121 Estas matrices tres matrices de rotación $G=\unicode{123}M_{x}(\alpha), M_{y}(\beta), M_{z}(\gamma)\unicode{125}$, se señalan a continuación en $R$: $R_{x}(\alpha)$ rota el plano yz alrededor del origen por un ángulo $\alpha$. $R_{y}(\beta)$ rota el plano xz alrededor del origen por un ángulo $\beta$. $R_{z}(\gamma)$ rota el plano xy alrededor del origen por un ángulo $\gamma$. La transpuesta $R^T$ de cada una de estas matrices y multiplicarlas por sus transpuestas respectivas, sus productos serán iguales en a la matriz identidad $I$: $R_{x}(\alpha)(R_{x}(\alpha))^T=(R_{x}(\alpha))^T R_{x}(\alpha)(R_{x}(\alpha))^T=I$. $R_{y}(\beta)(R_{y}(\beta))^T=(R_{y}(\beta))^T R_{y}(\beta)(R_{y}(\beta))^T=I$. $R_{z}(\gamma)(R_{z}(\gamma))^T=(R_{z}(\gamma))^T R_{z}(\gamma)(R_{z}(\gamma))^T=I$ Es decir, el grupo completo $G \in SO(3)$ consiste en el producto de estas matrices, las cuales al multiplicarlas por sus transpuestas son iguales a la matriz identidad $I$. Por tanto, cumplen con la condición de ortogonalidad en lo reales: $$M_{x}(\alpha)= \begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0}\\ \bbox[yellow]{0} & cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ \bbox[yellow]{0} & -sin(\alpha) & cos(\alpha)\\ \end{pmatrix} $$ $$M_{y}(\beta)= \begin{pmatrix} cos(\beta) & \bbox[yellow]{0} & -sin(\beta) \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0}\\ sin(\beta) & \bbox[yellow]{0} & cos(\beta)\\ \end{pmatrix} $$ $$M_{z}(\gamma)= \begin{pmatrix} cos(\gamma) & sin(\gamma) & 0 \\ -sin(\gamma) & cos(\gamma) & 0 \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1}\\ \end{pmatrix} $$ Las rotaciones se realizan sobre los ejes de coordenadas Cartesianas en el espacio tridimensional euclidiano, se identifican los ángulos de rotación en torno a cada eje, tomando como referencia el giro en torno al eje $z$ como $\gamma$, el giro en torno al eje $y$ como $\beta$, y el giro en torno al eje $x$ como $\alpha$. Cada una de las tres matrices $R_x(\alpha), R_y(\beta) \text{ y } R_z(\gamma)$ son una matriz ortogonal, i.e. dejan invariante la longitud del vector en rotación. Esto se realiza porque se requieren,- en cada plano -, sólo rotaciones en torno a dos de los ejes coordenadas rectangulares, prescindiendo del otro eje. Nótese que la matriz $M_{2 \times 2}\in SO(2)$ se aumenta introduciendo los vectores canónicos: en el caso $M_{x}(\alpha)$, se introdujo $\vec i$ en la primera fila y primera columna; en $M_{y}(\beta)$ se introdujo $\vec j$ en la segunda fila y segunda columna; y en $M_{z}(\gamma)$ se introdujo $\vec k$ en la tercera fila y tercera columna. Estas tres rotaciones son independientes, las unas de las otras. Luego, al diferenciar cada una de estas tres matrices y evaluarlas en $\theta=0$, se obtienen los generadores infinitesimales de rotación, en torno a cada uno de los ejes respectivamente $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$ en $SO(3)$. Es decir, $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$, el cual es un generador unitario del Algebra de Lie en tres dimensiones, se obtiene de las derivadas de cada una de estas tres matrices $M_{x}(\alpha), M_{y}(\beta), M_{z}(\gamma)$. En efecto, $$\frac{dG}{d\theta} \mid_{\theta=0}$$ $$(M_{x}(0))'=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & \underbrace{-sin(0)}_{\color{red} 0} & \underbrace{-cos(0)}_{\color{red} {-1}} \\ 0 & \underbrace{cos(0)}_{\color{red} 1} & \underbrace{sin(0)}_{\color{red} 0}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}=X_{1} $$ $$(M_{y}(0))'=\begin{pmatrix} \underbrace{-sin(0)}_{\color{red} 0} & 0 &\underbrace{-cos(0)}_{\color{red} {-1}} \\ 0 & 0 & 0\\ \underbrace{cos(0)}_{\color{red} 1} & 0 & \underbrace{-sin(0)}_{\color{red} 0}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}=X_{2} $$ $$(M_{z}(0))'=\begin{pmatrix} \underbrace{-sin(0)}_{\color{red} 0} & \underbrace{cos(0)}_{\color{red} 1} & 0 \\ \underbrace{-cos(0)}_{\color{red} {-1}} & \underbrace{sin(0)}_{\color{red} 0} & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}=X_{3} $$ Fin de la Deducción de $\vec P$ De esa forma se demuestra cómo se deduce el generador unitario del Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$ en tres dimensiones $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$, el cual se mapea como $SO(2)\mapsto SO(3)$, i.e. aumentandando la matriz $M_{2\times 2}$ con los vectores canónicos y obteniendo tres matrices $M_{3\times 3}$ de rotación, en torno a cada eje. Posteriormente, se deriva cada una de las matrices de rotación $G=\unicode{123} M_{x}(\alpha), M_{y}(\beta), M_{z}(\gamma) \unicode{125}$ y se obtiene $\vec P$.

$$[X1,X2]=X3$$	$$[X1,X3]=-X2$$	$$[X2,X1]=-X3$$
$$[X2,X3]=X1$$	$$[X3,X1]=X2$$	$$[X3,X2]=-X1$$

A fin de simplificar las operaciones de permutación, se recurre a la utilización del símbolo Levi-Civita en tres dimensiones:

$$ \epsilon _{ijk}=\begin{cases}+1, & \text{si (ijk) es (1,2,3)(2,3,1)(3,1,2)} \\\\ -1, & \text{si (ijk) es (3,2,1)(2,1,3)(1,3,2)} \\\\ \text{ }0, & \text{si (ijk) de otro modo i=j o j=k o k=i} \end{cases} $$

Matriz Dimensión 3 con Símbolo de Levi-Civita¹²⁵

Es decir, en vez de multiplicar explícitamente las matrices generadoras de $3\times 3$, sintetizamos con los indicadores del símbolo de Levi-Civita, donde $\epsilon=1$ si es una permutación par(+1), $\epsilon=-1$ si es una permutación impar(-1) y $\epsilon=0$ en cualquier otro caso. Ilustremos los casos:

$$[X_1,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{111}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{112}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{113}}X_3=0\\ $$	$$[X_1,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{121}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{122}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {1}}{\epsilon_{123}}X_3=X_3\Large\color{\green}{\checkmark}\\ $$	$$[X_1,X_3]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {0}}{\epsilon_{131}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{-1}{\epsilon_{132}}X_2=-X_2\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{133}}X_3=0\\ $$
$$[X_2,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{211}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{212}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {-1}}{\epsilon_{213}}X_3=-X_3\Large\color{\green}{\checkmark}\\ $$	$$[X_2,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{221}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{222}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{223}}X_3=0\\ $$	$$[X_2,X_3]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {1}}{\epsilon_{231}}X_1=X_1\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{232}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{233}}X_3=0\\ $$
$$[X_3,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {0}}{\epsilon_{311}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{1}{\epsilon_{312}}X_2=X2\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{313}}X_3=0\\ $$	$$[X_3,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {-1}}{\epsilon_{321}}X_1=-X_1\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{322}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{323}}X_3=0\\ $$	$$[X_3,X_3]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{331}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{332}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{333}}X_3=0\\ $$
Nótese que de acuerdo con Levi-Civita en tres dimensiones: $\epsilon _{123},\epsilon_{231},\epsilon _{312}, \epsilon _{132},\epsilon _{312},\epsilon _{213} \text{ son }\ne 0$

Luego, la matriz asociada a los valores resultantes de las permutaciones del conjunto de generadores infinitesimales $\vec P=\unicode{123} X_1, X_2, X_3\unicode{125}$ aplicando el símbolo Levi-Civita $\epsilon_{ijk}$ se señala en la siguente tabla:

Las Permutaciones par son 123, 231, 312

Las Permutaciones impar son 132,312, 213

Por tanto, de esa forma se puede representar todas las permutaciones tridimensionales del Algebra de Lie, desde $SO(3)$. Una excelente ilustración es el Cubo de Rubik, cuya imagen animada se muestra a continuación, dado que es un ejemplo de un grupo de permutación.

Los grupos de simetría $SO(n)$ son grupos de permutación, donde cada una de las rotaciones, en este caso con alguna de las caras del Cubo de Rubik-, constituye una permutación. Estas rotaciones forman un conjunto generador del Algebra de Lie ¹²¹.

Cubo de Rubik
Ejemplo de Grupo Simétrico de Permutación

Pauli - Algebra de Lie - Robótica

Grupo de Lie - Enfoques Geométrico y Exponencial 

Grupo de Lie ~ Complementario a Matrices de Pauli y Algebra de Lie