Vectores Propios $\longrightarrow$ Matrices de Pauli

Se mostrará la deducción de los tres operadores lineales, a partir de $\sigma_z$, operador que gira en torno al eje de la $z$ del plano euclidiano de 3 dimensiones (representación sobre la superficie de la esfera de Bloch¹⁹), espacio donde, - en el presente artículo-, se ilustran las definiciones de las tres puertas de Pauli $\sigma_x=X$, $\sigma_y= Y$, $\sigma_z=Z$. ¹⁷⁵

Espín:Matrices de Pauli

Comenzaremos desde el sping del electrón, donde se tiene un estado hacia arriba (↑~$|u〉$) y un estado de la rotación hacia abajo (↓~$|d〉$). Equivalentemente se utiliza esta notación de Dirac¹ como: $|0〉$ y $|1〉$.

Los operadores de Pauli se utilizan en física para describir el spin de las partículas, que es una propiedad intrínseca de las partículas elementales. El spin se comporta como un vector en un espacio tridimensional y los operadores de Pauli nos permiten describir matemáticamente sus componentes en cada una de las tres direcciones.

Dirac: Representación de Estados

i) $\sigma_z$ es un operador lineal;

ii) Los autovectores de $\sigma_z$ son {$|u〉=+1,|d〉=-1$} ¹⁷⁰;

iii) Los vectores $|u〉$ y $|d〉$ son ortogonales, i.e. producto interno $〈u|d〉=0$².

$\sigma_x$

$\sigma_y$

$\sigma_z$

Matrices de Pauli~Esfera de Bloch¹⁹

· Autovalores ~ Matrices de Pauli

Ahora, cada una de las matrices de Pauli son una matriz hermítica ($M=(M^T)^*$) ¹⁷⁸ y unitaria de $2×2$, i.e. que abarca el espacio de observables del espacio de Hilbert complejo bidimensional³, dotado de los valores propios escalares $\lambda=\pm 1$. Los vectores propios de los tres operadores normalizados son:

$$ |r〉=\sigma_{x+}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$	$$|\ell〉=\sigma_{x-}= -\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$
$$|i〉=\sigma_{y+}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ \end{pmatrix}$$	$$|\ell〉=\sigma_{y-}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ \end{pmatrix}$$
$$|u〉= \sigma_{z+}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$	$$|d〉=\sigma_{z-}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

· Eigenvectores o Vectores Propios

En síntesis, a continuación se describen más detalladamente los autovectores como los autovalores del sistema de matrices de Pauli,- incluyendo la matriz Idéntica:

Los eigenvectores o vectores propios de la matriz idéntica $\mathbf{\sigma_0=I}$,

$$ \sigma_0=I= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$
$$\text{son:}$$
$$ H_0=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \right\} $$
Ambos autovalores (eigenvalues) asociados tienen $\mathbf{\lambda=1}$.

---

Los eigenvectores o vectores propios de la matriz $\mathbf{\sigma_x=X}$,

$$ \sigma_{1}=\sigma_{x}=X= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} $$
$$\text{son:}$$
$$ H_1= \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \right\} $$
Los autovalores (eigenvalues) asociados son $\mathbf{\lambda_1=1}$ y $\mathbf{\lambda_2=-1}$.

---

Los eigenvectores o vectores propios de la matriz $\mathbf{\sigma_y=Y}$,

$$ \sigma_{2}=\sigma_{y}=Y= \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0\\ \end{pmatrix} $$
$$\text{son:}$$
$$ H_2= \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ \end{pmatrix} \right\} $$
Los autovalores (eigenvalues) asociados son $\mathbf{\lambda_1=1}$ y $\mathbf{\lambda_2=-1}$.

---

· Los eigenvectores o vectores propios de la matriz $\mathbf{\sigma_z=Z}$,

$$ \sigma_3=\sigma_z=Z= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} $$
$$\text{son:}$$
$$ H_3= \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \right\} $$
Los autovalores (eigenvalues) asociados son $\mathbf{\lambda_1=1}$ y $\mathbf{\lambda_2=-1}$.

Así mismo en este artículo anexo, se esboza una demostración algebraica, a partir de las propiedades de la matrices de Pauli, operando matricialmente, generando ecuaciones y despejando para demostrar su conformación.

Los autovectores o eigenvectores de {$|u〉, |d〉$}, que al transformarlos en su medición por el operador $\sigma_z$, dan lugar a los escalares {$+1,-1$} respectivamente.

Es decir,
$$\sigma_z(|u〉)=+1|u〉=|u〉\\ \land \\ \sigma_z(|d〉)=-1|d〉=-|d〉$$
$$\Rightarrow$$

$\sigma_z|u〉=|u〉$
	$\quad$[Eqsz]
$$\sigma_z|d〉=-|d〉$$

Vectorialmente se representan como vectores columnas de un espacio bidimensional:

$$ |u〉=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\\ \land \\|d〉=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $$

Nótese que todos los posibles resultados de las mediciones son operadores del autovalor que representan un observable. Además, estos dos vectores son ortogonales, i.e. el producto interno entre ellos es igual a cero:

$$ \large{|u\text{|}d〉=0} $$

Aplicando $[Eqs_z]$, considérese matricialmente entonces, - en este espacio vectorial bidimensional -, las siguientes dos ecuaciones:


$$ \begin{pmatrix} (\sigma_z)_{11} & (\sigma_z)_{12} \\ (\sigma_z)_{21} & (\sigma_z)_{22} \\ \end{pmatrix}· \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}}_{|u〉}= \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}}_{|u〉} \qquad [Eq_{z1}] $$
$$ \begin{pmatrix} (\sigma_z)_{11} & (\sigma_z)_{12} \\ (\sigma_z)_{21} & (\sigma_z)_{22} \\ \end{pmatrix}· \underbrace{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}}_{|d〉}= -\underbrace{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} }_{|d〉} \qquad [Eq_{z2}] $$
Multiplicando matricialmente $[Eq_{z1}]$ y $[Eq_{z2}]$ respectivamente, se obtiene:

$$ \begin{pmatrix} (\sigma_z)_{11}\\ (\sigma_z)_{21}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \\ \land \\ \begin{pmatrix} (\sigma_z)_{12}\\ (\sigma_z)_{22}\\ \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $$
$$ \large{\Rightarrow} $$
$$ (\sigma_z)_{11}=1\text{ , } (\sigma_z)_{21}=0 \\ \land \\ (\sigma_z)_{12}=0\text{ , }(\sigma_z)_{22}=-1 $$
Por lo tanto, uniendo:

$$ \sigma_z=Z= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} $$

Se ha deducido la matriz unitaria $\sigma_z$ de Teoría Cuántica, que se denomina también Puerta Cuántica de Pauli $Z$.

Operador $\sigma_z$~Esfera de Bloch

Denotemos dos vectores {$|r〉,|\ell〉$} como $(\rightarrow \text{ right})$ y $(\leftarrow \text{ left})$, para deducir el operador $\sigma_x$.

$\sigma_x(|r〉)=+1|r〉=|1〉$ y $\sigma_x(|\ell〉)=-1|\ell〉=-|l〉$, i.e.

$\sigma_x|r〉=|r〉$
	$\quad$[Eqsx]
$$\sigma_x|\ell〉=-|\ell〉$$

Desde ahí, se demostrará que:

$$ \sigma_x=X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$

Operador $\sigma_x$~Esfera de Bloch

Es decir, se demostrará que

Se ha deducido la matriz unitaria $\sigma_y$ de Teoría Cuántica, que se denomina también Puerta Cuántica de Pauli $Y$. Matricialmente se expresa como:

$$ \sigma_y=Y= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} $$

Operador $\sigma_y$~Esfera de Bloch

Estas tres matrices de Pauli son representaciones matriciales de su operador unitario, que cumplen con la condición de que la determinante de su matriz es diferente de $0$ (toma el valor $\pm 1$), su traza $Tr(\sigma_i)=0$, que su matriz inversa es igual a ella misma y que su transpuesta también es la misma matriz.

Esta propiedad involutiva se expresa como:

Otro enfoque de deducción matemática de los autovectores de las matrices de Pauli, es a partir de las propias matrices utilizando sus características y particularmente su propiedad de anticonmutación:

$$\sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_x = 0\\ \sigma_y\sigma_z + \sigma_z\sigma_y = 0 \\ \sigma_z\sigma_x + \sigma_x\sigma_z = 0$$
Se despejan y operan algebraicamente estas ecuaciones, a fin de llegar a obtener los autovectores y autovalores de las matrices de Pauli con sus elementos.

En otras palabras, se utilizan diversas operaciones entre las tres matrices y se obtienen expresiones que, al aplicarles las propiedades de las matrices señaladas, permiten deducir los autovectores de las matrices de Pauli.

A ese efecto es necesario contar por ejemplo con:

Además por ejemplo, armar desde la Tabla de Cayley el siguiente sistema de igualdades, donde se utiliza la diferencia de los productos cruzados de la matrices de Pauli. Ciertamente, se aplica la conmutación con la operación binaria Corchetes de Lie ([XY]=XY-YX)⁹⁰:

$$ [\sigma_x \sigma_y]=\sigma_x\sigma_y - \sigma_y\sigma_x = 2i\sigma_z \\ [\sigma_y \sigma_z]=\sigma_y\sigma_z - \sigma_z\sigma_y = 2i\sigma_x \\ [\sigma_z \sigma_x]=\sigma_z\sigma_x - \sigma_x\sigma_z = 2i\sigma_y $$

El grupo de Lie $SO(2)$ es triparamétrico como $SO(3)$. Por ejemplo, explicitamente:

$$ [\sigma_x \sigma_y]= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2i & 0 \\ 0 & -2i \\ \end{pmatrix} \\ \Rightarrow \\ 2i\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}=2i\sigma_z \\ $$

En resumen, las matrices de Pauli {$\sigma_x,\sigma_y, \sigma_z$} se deducen construyendo operadores que actúan sobre una base de dos dimensiones y cumplen con las propiedades descritas.

(Ver Matrices de Pauli ~ Generadores del Algebra de Lie )