Este conjunto de tres matrices de Pauli se conecta con un Algebra de Lie $\mathfrak g$ mediante una representación que llamamos $\mathfrak{\large{rg}}$, utilizando la operación binaria, - previamente definida -, Corchetes de Lie, i.e. se satisfacen las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con identidad de Jacobi⁸⁹.

Particularmente, los operadores $X_1$ y $X_3$ con elementos complejos y $X_2$ es un operador con elementos reales. Luego, $\large{\mathfrak {g}}$ es el conjunto de todas las matrices bidimensionales antisimétricas, que llamaremos Algebra de Lie asociada a las Matrices de Pauli.

Ver párrafo en artículo Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie, donde se muestra que toda matriz unitaria $M_{2\times 2} \in \mathbb{C^n}$ se define como una combinación lineal de {$I,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$}. Por tanto, el álgebra de Lie $\mathfrak g$ asociado a las matrices de Pauli, se puede expresar como:

$$\large{\mathfrak {g}}=\unicode{123} M \in \mathbb{C^n} \text{ / } \underbrace{M^T=-M}_{\text{Antisimetría}} \unicode{125}$$
Es necesario observar que, las matrices de Pauli {$\sigma_x,\sigma_y, \sigma_z$} se deducen construyendo operadores que actúan sobre una base de dos dimensiones¹⁷⁹ y cumplen con las propiedades descritas previamente.

Observar también que, las Matrices de Pauli conforman una Base del Algebra de Lie de SU(2), pero no constituyen un grupo de $SO(2)$⁸⁶, puesto que entre otras propiedades exigidas es que las determinantes de cada una de ellas sea igual a $1$, pero las determinantes de las matrices de Pauli son igual $-1$.


 Cierre de la Demostración

En resumen, al multiplicar las matrices de Pauli por $\pm \large {i}$, se obtienen los generadores del álgebra de Lie $SU(2)$, que son esenciales para describir las propiedades algebraicas de las rotaciones en el espacio tridimensional.

Por tanto, se ha mostrado que directamente desde las Matrices de Pauli se obtienen tres generadores. Es decir, $\text{span}\unicode{123}\mathbf {X_1, X_1, X_1}\unicode{125}$ Esta última $\large{\mathfrak {rg}}$, es la notación utilizada en este artículo.

Estos tres generadores $\large{\mathfrak {rg}}$ son las matrices unitarias:


$$ \mathfrak {\mathbf {rg}}= \Bigg\{ \frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_1}}, \frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_2}}, \frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_3}} \Bigg\} $$
Cuyas conmutaciones son:

$$[X1\text{ }X2]=X3$$	$$[X1\text{ }X3]=-X2$$	$$[X2\text{ }X1]=-X3$$
$$[X2\text{ }X3]=X1$$	$$[X3\text{ }X1]=X2$$	$$[X3\text{ }X2]=-X1$$

Por otro lado, es posible aplicar a los generadores infinitesimales $\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$ con el símbolo de Levi-Civita:

$$[X_i\text{ }X_j]=\epsilon _{ijk}X_k$$
Por ejemplo:

$$ [X_1 X_2]=\epsilon _{123}X_3 \text{, } [X_2 X_3]=\epsilon_{231} X_1 \text{, } [X1,X3]=\epsilon_{132} X_2 \dots $$ etc. como se detalla en el artículo Definición Algebra de Lie.

$$ \epsilon _{ijk}=\begin{cases}+1, \\ \text{si (ijk) es (1,2,3)(2,3,1)(3,1,2)} \\\\ -1, \\ \text{si (ijk) es (3,2,1)(2,1,3)(1,3,2)} \\\\ \text{ }0, \\ \text{si i=j o j=k o k=i}\\ \end{cases} $$

Donde $\mathfrak {rg}=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$ son los generadores satisfacen la relación de conmutación del álgebra de Lie $SU(2)$, y que corresponden a las componentes de momento angular en los ejes $x, y, z$ del espacio tridimensional euclidiano respectivamente.

En síntesis, la transformación algebraica directa para obtener los generadores del algebra de Lie $\mathfrak {rg}=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$, i.e. sin recurrir a los operadores auxiliares $U=\unicode{123}u_1,u_2,u_3\unicode{125}$, es multiplicando directamente las matrices de Pauli por $\pm\large{\frac{i}{2}}$ como se muestra a continuación:

Transformación Algebraica Directa

Donde, las relaciones de conmutación de estas matrices con la operación binaria Corchetes de Lie, resultan en $\large{\mathfrak {g}}$, que es el conjunto de matrices antisimétricas que llamaremos Algebra del Lie de Pauli

El ejercicio muestra que $\large{\mathfrak {rg}}$ es un conjunto de vectores del álgebra de Lie que pueden ser utilizados operando con los corchetes de Lie para obtener cualquier elemento del espacio.

En otrós términos,- en este caso-, todo elemento del Algebra $\large{\mathfrak {g}}$ puede ser expresado como una combinación lineal de los generadores de base $\large{\mathfrak {rg}}$. (Dado que las matrices de Pauli conforman una Base del Algebra de Lie, implica que toda matriz $M_{2×2}$ compuesta por elementos $m_{ij}\in \mathbb {C}$ de representación $SU(2)$ se puede expresar como una combinación lineal de las matrices de Pauli.)

Lo interesante es que $\large{\mathfrak {g}}$ permite estudiar las propiedades de las Matrices de Pauli de una forma más algebraica, i.e. sin recurrir a la propiedades geométricas específicas de grupos.

Finalmente, nótese que los generadores $\mathfrak{\large{rg}}=\unicode{123}X_1,X_2,X3\unicode{125}$ que se determinaron, son isomorfos a los operadores del álgebra de Lie asociados a los grupos $SO(3)$.

En efecto, las álgebras de Lie $\mathfrak {su(3)}$ y $\mathfrak {su(2)}$ son isomorfas, donde una base para $\mathfrak {su(2)}$ está dada por:


$$ \Bigg\{ X_1=\frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_1}}, X_2=\frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_2}}, X_3=\frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_3}} \Bigg\} $$
Estos operadores están relacionadas con las matrices de Pauli por:

$$ X_{i}\longrightarrow \frac{1}{2i\sigma_i} $$

Video: Deducción Generadores $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$