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Matrices de Pauli
Generadores de un Algebra de Lie



Enfoque Algebraico
Pauli $\large{\sigma_i \longrightarrow \mathfrak {g}}$ Algebra de Lie


Capítulo extraído del Documento de Base:
Matrices Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie


José Enrique González Cornejo
v.0.1/Julio 2023







Video Pauli~Generadores Algebra de Lie



 Introducción

La presente nota es una síntesis88 del enfoque algebraico de la deducción de los generadores del Algebra de Lie desde las matrices de Pauli.

El propósito de la presentación es transformar las tres matrices de Pauli con una simple operación algebraica y obtener en tres pasos los generadores de su Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$.

En efecto, se conmutan las tres matrices de Pauli con corchetes de Lie y sus resultantes se convirtien en antihermitianas unitarias $U=\unicode{123}u_1,u_2,u_3\unicode{125}$, que al multiplicarlas por $\large{\frac{1}{2}}$ simplifican la obtención de las tres matrices generadoras infinitesimales que se han denotado como $\mathfrak{\large{rg}}=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$ (Ver Algebra de Lie ~ Generadores $SO(3)$).

Para obtener los generadores del álgebra de Lie $SU(2)$ a partir de las matrices de Pauli, simplemente se multiplican las matrices de Pauli por el imaginario complejo $\pm \large{i}$.

A continuación, se realiza un desarrollo matemático de esta síntesis algebraica mediante operaciones básicas, en tres pasos.

Síntesis en Tres Pasos
Pauli $\sigma_i \large{\longrightarrow \mathfrak {g}}$ Algebra de Lie
 1 

$$ \underbrace{ \sigma_x= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \qquad \sigma_y= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \qquad \sigma_z= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} } _{ } $$

 2 

$$ \underbrace{\large{\vec{u_1}=i\sigma_x\qquad\vec{u_2}=-i\sigma_y\qquad \vec{u_3}=i\sigma_z} }_{} $$





La nota intenta ser un complemento de comprensión de la publicación de base, teniendo en cuenta que en ese artículo se abordó la búsqueda de los generadores partiendo desde un Grupo de Lie $G \times G\longrightarrow G$.180.

A continuación, se hará uso directamente de las propiedades de estos tres operadores y transformar las tres matrices en antihermitianas181, a fin de llegar en forma algebraica a obtener los generadores del Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$ desde las Matrices de Pauli.

Recordar que el conjunto de matrices $M_{2\times 2}$ en los números complejos, bajo las operaciones ordinarias de adición matricial y multiplicación escalar, definen un espacio vectorial de cuatro dimensiones sobre el cuerpo de los números complejos. Es decir, el conjunto de la matrices de Pauli es un caso especial del álgebra de matrices $n\times n$.

Remarcar que la multiplicación matricial asegura que el álgebra de matrices $M_{2\times 2}$ en los complejos es asociativa y no conmutativa. Estas propiedades son importantes para encontrar los generadores del Algebra de Lie asociada a la Matrices de Pauli 184.

Acción Operadores de Pauli
Esfera de Bloch
19

$\sigma_x$

$\sigma_y$

$\sigma_z$

Estas tres matrices de Pauli conforman una base del Algebra de Lie185 del grupo especial $SU(2)$, para el espacio vectorial complejo de todas las matrices de $2×2$, llamada Algebra de Pauli. (Obsérvese que, las matrices de Pauli son esenciales en las operaciones de qubits en computación cuántica (Ver Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica).

Es decir, son representaciones matriciales de su operador unitario, que cumplen con la condición de que la determinante de su matriz es diferente de $0$ (toma el valor $\pm 1$), su traza $Tr(\sigma_i)=0$, que su matriz inversa es igual a ella misma y que su transpuesta también es la misma matriz.

Esta propiedad involutiva se expresa como:

$$ \sigma_x^{2}=\sigma_y^{2}=\sigma_z^{2}=I $$
$$\sigma_x=\sigma_x^{-1}=\sigma_x^{T}\quad \text{, } \sigma_y=\sigma_y^{-1}=\sigma_y^{T}\quad \text{, }\sigma_z=\sigma_z^{-1}=\sigma_z^{T}$$
Con Determinantes:

$$ det(\sigma_x)=-1,\quad det(\sigma_y)=-1,\quad det(\sigma_z)=-1 $$

Con Trazas:

$$ Tr(\sigma_x)=0,\quad Tr(\sigma_y)=0,\quad Tr(\sigma_z)=0 $$

En otras palabras, se utilizan diversas operaciones entre las tres matrices, que al aplicarles las propiedades señaladas, permiten deducir los generadores del Algebra de Lie186 asociada a las matrices de Pauli. (Son parte de las matrices de $n × n$ cuyos elementos toman valores en el cuerpo $K = \mathbb {R} \text{ o }\mathbb{C}$).

Para simplificar el procedimiento de deducción, es necesario contar por ejemplo, con la siguiente tabla, donde se muestran los productos de la multiplicación de la matrices de Pauli:

$$\times$$ $$\sigma_x$$ $$\sigma_y$$ $$\sigma_z$$
$$\sigma_x$$ $$I$$ $$i\sigma_z$$ $$-i\sigma_y$$
$$\sigma_y$$ $$-i\sigma_z$$ $$I$$ $$i\sigma_x$$
$$\sigma_z$$ $$i\sigma_y$$ $$-i\sigma_x$$ $$I$$
$[T1]$ Tabla Multiplicación
Matrices de Pauli


En otros términos la multiplicación de las matrices de Pauli:

$$ \begin{matrix} \sigma_x\times\sigma_y=i\sigma_z &\quad \sigma_y\times\sigma_x=-i\sigma_z\\ \sigma_y\times\sigma_z=i\sigma_x &\quad \sigma_z\times\sigma_y=-i\sigma_x\\ \sigma_z\times\sigma_x=i\sigma_y &\quad \sigma_x\times\sigma_z=-i\sigma_y\\ \end{matrix} $$

  Generadores de $\mathfrak{\large g}$ desde las Matrices de Pauli

Utilizando esta tabla $[T1]$, se facilita encontrar en forma algebraica los generadores de un algebra de Lie $\mathfrak{\large g}$, asociada a las Matrices de Pauli.

Así mismo, a fin de simplificar el sistema de generadores buscado, se hará un cambio de base incorporando tres matrices auxiliares, dado que toda Algebra de Lie es por definición un espacio vectorial dotada de un conmutador que satisface ciertas propiedades. Es decir, se trata efectivamente de incluir un espacio lineal, donde sólo las constantes de estructura cambian.

Sea $U=\unicode{123}u_1,u_2,u_3\unicode{125}$ un conjunto de tres operadores complejos, hermitianos y unitarios de la forma genérica, con $b,c,d \in \mathbb {R}$ (Ver Las Matrices de Pauli Conforman una Base del Algebra de Lie de SU(2)):


$$ \large{u_n}=\begin{pmatrix} \large{i}b & -c\large{i}+d \\ c+\large{i}d & -\large{i}b \\ \end{pmatrix} $$ 183

Luego, consideremos los siguiente tres operadores, tal que:

$$d=1 \text{ } \land \text{ } (b=c=0) \Rightarrow \large{u_1}$$
$$c=1 \text{ } \land (b=d=0) \Rightarrow \large{u_2}$$
$$b=1 \text{ } \land \text{ } (d=c=0) \Rightarrow \large{u_3}$$
Es decir,
$$ u_1=\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}\\ $$
$$ u_2=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\\ $$
$$ u_3=\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \\ \end{pmatrix}\\ $$
[G1]

Donde se mostrará que:

$$\large{u_1=-i\sigma_x}$$ $$\large{ u_2=i\sigma_y}$$ $$\large{u_3=-i\sigma_z}$$  
   
$$\large{\Rightarrow}$$
[G1.1]
       
$$\large{\sigma_x=-iu_1}$$ $$\large{\sigma_y=iu_2}$$ $$\large{\sigma_z=-iu_3}$$  

De modo que, cada una de las matrices de Pauli se pueden expresar en función de $\pm \large{i} u_{n}$:


$$ -i u_1=-i\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}=\sigma_x\\ $$
$$ i u_2=i\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}=\sigma_y\\ $$
$$ -i u_3=-i\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}=\sigma_z $$


Luego considérese la conmutación de las matrices de Pauli con la operación binaria Corchetes de Lie 89, armando el siguiente sistema de igualdades:

Conmutemos matricialmente por extensión, con corchetes de Lie, las matrices de Pauli:


$$ \large{[\sigma_x \sigma_y]}= \underbrace { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} }_ { 2i\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}=\Large{2i\sigma_z=-2u_3}} \\ $$

$$ \large{[\sigma_y \sigma_x]}= \underbrace { \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \\ }_ {-2i\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}=\Large{-2i\sigma_z=2u_3}}\\ $$

$$ \large{[\sigma_x \sigma_z]}= \underbrace { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} }_ { -2i\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}=\Large{-2i\sigma_y=-2u_2}} \\ $$

$$ \large{[\sigma_y \sigma_z]}= \underbrace { \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} }_ { 2i\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}=\Large{2i\sigma_x=-2u_1}} \\ $$

$$ \large{[\sigma_z \sigma_x]}= \underbrace { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} }_ { 2i\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}=\Large{2i\sigma_y=2u_2}} \\ $$

$$ \large{[\sigma_z \sigma_y]}= \underbrace { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} }_ { 2i\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}=\Large{-2i\sigma_x=2u_1}} \\ $$


En resumen:

$$[·,·]$$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\sigma_z$
$\sigma_x$ $0$ $2i\sigma_z$ $2i\sigma_y$
$\sigma_y$ $-2i\sigma_z$ $0$ $2i\sigma_x$
$\sigma_z$ $2i\sigma_y$ $-2i\sigma_x$ $0$
$[T2]$: Corchetes de Lie
Tabla Matrices de Pauli

En otros términos:

$[\sigma_x \sigma_y]=\sigma_x\sigma_y - \sigma_y\sigma_x = 2\underbrace {i\sigma_z}_{u_3}=2u_3$
$[\sigma_y \sigma_z]=\sigma_y\sigma_z - \sigma_z\sigma_y = 2\underbrace {i\sigma_x}_{u_1}=2u_1$
$[\sigma_z \sigma_x]=\sigma_z\sigma_x - \sigma_x\sigma_z = 2\underbrace {i\sigma_y}_{u_2}=2u_2$

$[G2]$

Conmutando los operadores auxiliares $U=\unicode{123}u_1,u_2,u_3\unicode{125}$, equivalentemente a $[T2]$ resultan los siguientes generadores:


$$[·,·]$$ $u_1$ $u_2$ $u_3$
$u_1$ $0$ $2u_3$ $-2u_2$
$u_2$ $-2u_3$ $0$ $2u_1$
$u_3$ $2u_2$ $-2u_1$ $0$
$[T3]$: Corchetes de Lie
Tabla Operadores $U=\unicode{123}u_1,u_2,u_1\unicode{125}$


En otros términos, la conmutación de los operadores $U=\unicode{123}u_1,u_2,u_1\unicode{125}$:

$\bbox[#ffffae]{[u_1 u_2]=2u_3}\qquad [u_1 u_3]=-2u_2$  
$[u_2 u_1]=-2u_3\quad \bbox[#ffffae]{[u_2 u_3]=2u_1}$    [G3]
$\bbox[#ffffae]{[u_3 u_1]=2u_2}\qquad [u_3 u_2]=-2u_1$  




  Representación Generadores $\large{\mathfrak {rg}}$ desde Pauli

Por lo tanto, desde las matrices de Pauli, - sin constituir un grupo -, es posible obtener algebraicamente generadores de un Algebra de Lie. En este caso, mediante un recurso algebraico utilizando $U=\unicode{123}u_1,u_2,u_1\unicode{125}$ como operadores auxiliares.


Generadores en Tres Pasos
Pauli: $\sigma_i \large{\longrightarrow \mathfrak {g}}$: Algebra de Lie


En efecto, sólo después de multiplicar los generadores resultantes de $[T2]$, por el imaginario complejo $\pm\large{\frac{i}{2}}$, es posible "normalizar" o simplificar la expresión de cada uno de los generadores infinitesimales que designaremos como {$X_1,X_2,X_3$}.

Equivalentemente cada uno de los generadores en $[G3]$ están precedidos por el factor $2$, los cuales se simplifican al multiplicar por $(\large{\frac{1}{2})}$, i.e. se transforman en generadores infinitesimales simplificados del Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$ asociado a las Matrices de Pauli.

Sea $\mathfrak{\large{rg}}=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$ su representación:

$$ X_{1}=\frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_1}}\\ $$
$$ X_2=\frac{1}{2}\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_2}}\\ $$
$$ X_{3}=\frac{1}{2}\underbrace{\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_3}} $$


Es decir,

$$ X_{1}=\frac{1}{2}\large{u_1},\quad X_2=\frac{1}{2}\large{u_2},\quad X_{3}=\frac{1}{2}\large{u_3} $$

Luego, la matriz asociada a los valores resultantes de las conmutaciones del conjunto de generadores infinitesimales $\mathfrak{\large{rg}}=\unicode{123} X_1, X_2, X_3\unicode{125}$ aplicando la operación corchetes de Lie se señala en la siguiente tabla.


[·,·] $\mathbf {X_1}$ $\mathbf {X_2}$ $\mathbf {X_3}$
$\mathbf {X_1}$ $0$ $X_3$ $-X_2$
$\mathbf {X_2}$ $-X_3$ $0$ $X_1$
$\mathbf {X_3}$ $X_2$ $-X_1$ $0$
Tabla Resultante de Conmutaciones $\mathfrak{\large{rg}}=\unicode{123} X_1, X_2, X_3\unicode{125}$ 129

Este conjunto de tres matrices de Pauli se conecta con un Algebra de Lie $\mathfrak g$ mediante una representación que llamamos $\mathfrak{\large{rg}}$, utilizando la operación binaria, - previamente definida -, Corchetes de Lie, i.e. se satisfacen las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con identidad de Jacobi89.

Particularmente, los operadores $X_1$ y $X_3$ con elementos complejos y $X_2$ es un operador con elementos reales. Luego, $\large{\mathfrak {g}}$ es el conjunto de todas las matrices bidimensionales antisimétricas, que llamaremos Algebra de Lie asociada a las Matrices de Pauli.

Ver párrafo en artículo Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie, donde se muestra que toda matriz unitaria $M_{2\times 2} \in \mathbb{C^n}$ se define como una combinación lineal de {$I,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$}. Por tanto, el álgebra de Lie $\mathfrak g$ asociado a las matrices de Pauli, se puede expresar como:

$$\large{\mathfrak {g}}=\unicode{123} M \in \mathbb{C^n} \text{ / } \underbrace{M^T=-M}_{\text{Antisimetría}} \unicode{125}$$
Es necesario observar que, las matrices de Pauli {$\sigma_x,\sigma_y, \sigma_z$} se deducen construyendo operadores que actúan sobre una base de dos dimensiones179 y cumplen con las propiedades descritas previamente.

Observar también que, las Matrices de Pauli conforman una Base del Algebra de Lie de SU(2), pero no constituyen un grupo de $SO(2)$86, puesto que entre otras propiedades exigidas es que las determinantes de cada una de ellas sea igual a $1$, pero las determinantes de las matrices de Pauli son igual $-1$.


 Cierre de la Demostración

En resumen, al multiplicar las matrices de Pauli por $\pm \large {i}$, se obtienen los generadores del álgebra de Lie $SU(2)$, que son esenciales para describir las propiedades algebraicas de las rotaciones en el espacio tridimensional.

Por tanto, se ha mostrado que directamente desde las Matrices de Pauli se obtienen tres generadores. Es decir, $\text{span}\unicode{123}\mathbf {X_1, X_1, X_1}\unicode{125}$ Esta última $\large{\mathfrak {rg}}$, es la notación utilizada en este artículo.

Estos tres generadores $\large{\mathfrak {rg}}$ son las matrices unitarias:


$$ \mathfrak {\mathbf {rg}}= \Bigg\{ \frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_1}}, \frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_2}}, \frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_3}} \Bigg\} $$
Cuyas conmutaciones son:


$$[X1\text{ }X2]=X3$$ $$[X1\text{ }X3]=-X2$$ $$[X2\text{ }X1]=-X3$$

$$[X2\text{ }X3]=X1$$ $$[X3\text{ }X1]=X2$$ $$[X3\text{ }X2]=-X1$$


Por otro lado, es posible aplicar a los generadores infinitesimales $\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$ con el símbolo de Levi-Civita:

$$[X_i\text{ }X_j]=\epsilon _{ijk}X_k$$
Por ejemplo:

$$ [X_1 X_2]=\epsilon _{123}X_3 \text{, } [X_2 X_3]=\epsilon_{231} X_1 \text{, } [X1,X3]=\epsilon_{132} X_2 \dots $$ etc. como se detalla en el artículo Definición Algebra de Lie.

$$ \epsilon _{ijk}=\begin{cases}+1, \\ \text{si (ijk) es (1,2,3)(2,3,1)(3,1,2)} \\\\ -1, \\ \text{si (ijk) es (3,2,1)(2,1,3)(1,3,2)} \\\\ \text{ }0, \\ \text{si i=j o j=k o k=i}\\ \end{cases} $$

Símbolo Levi-Civita Generadores

Donde $\mathfrak {rg}=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$ son los generadores satisfacen la relación de conmutación del álgebra de Lie $SU(2)$, y que corresponden a las componentes de momento angular en los ejes $x, y, z$ del espacio tridimensional euclidiano respectivamente.

En síntesis, la transformación algebraica directa para obtener los generadores del algebra de Lie $\mathfrak {rg}=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$, i.e. sin recurrir a los operadores auxiliares $U=\unicode{123}u_1,u_2,u_3\unicode{125}$, es multiplicando directamente las matrices de Pauli por $\pm\large{\frac{i}{2}}$ como se muestra a continuación:


Transformación Algebraica Directa

Donde, las relaciones de conmutación de estas matrices con la operación binaria Corchetes de Lie, resultan en $\large{\mathfrak {g}}$, que es el conjunto de matrices antisimétricas que llamaremos Algebra del Lie de Pauli

El ejercicio muestra que $\large{\mathfrak {rg}}$ es un conjunto de vectores del álgebra de Lie que pueden ser utilizados operando con los corchetes de Lie para obtener cualquier elemento del espacio.

En otrós términos,- en este caso-, todo elemento del Algebra $\large{\mathfrak {g}}$ puede ser expresado como una combinación lineal de los generadores de base $\large{\mathfrak {rg}}$. (Dado que las matrices de Pauli conforman una Base del Algebra de Lie, implica que toda matriz $M_{2×2}$ compuesta por elementos $m_{ij}\in \mathbb {C}$ de representación $SU(2)$ se puede expresar como una combinación lineal de las matrices de Pauli.)

Lo interesante es que $\large{\mathfrak {g}}$ permite estudiar las propiedades de las Matrices de Pauli de una forma más algebraica, i.e. sin recurrir a la propiedades geométricas específicas de grupos.

Finalmente, nótese que los generadores $\mathfrak{\large{rg}}=\unicode{123}X_1,X_2,X3\unicode{125}$ que se determinaron, son isomorfos a los operadores del álgebra de Lie asociados a los grupos $SO(3)$.

En efecto, las álgebras de Lie $\mathfrak {su(3)}$ y $\mathfrak {su(2)}$ son isomorfas, donde una base para $\mathfrak {su(2)}$ está dada por:


$$ \Bigg\{ X_1=\frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_1}}, X_2=\frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_2}}, X_3=\frac{1}{2} \underbrace{\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix}}_{\large{u_3}} \Bigg\} $$
Estos operadores están relacionadas con las matrices de Pauli por:

$$ X_{i}\longrightarrow \frac{1}{2i\sigma_i} $$


Video: Deducción Generadores $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$






 Notas Complementarias Adjuntas








Videografía y Bibliografía

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    Quantum Computation 5: A Quantum Algorithm
    David Deutsch, Autor del Algoritmo
    Centre for Quatum Computation
    https://www.youtube.com/watch?v=3I3OBFlJmnE

  • [B2]
    Curso Computación Cuántica
    Eduardo Sáenz de Cabezón
    26 abril 2019
    Instituto de Matemáticas de la UNAM, México
    https://www.youtube.com/watch?v=KKwjeJzKezw

  • [B3]
    Quantum Optics
    Miguel Orszag,
    Pontificia Universidad Católica - Santiago de Chile
    Editorial Springer ~ 2016


  • [B4]
    Quantum Optics - Mark Fox - Oxford University Press
    22 jun. 2006 - Oxford Master Series in Physics.
    Capítulo 13
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  • [B5]
    Quantum Computing Explain
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    https://www.academia.edu/31537353

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  • [B6]
    Programming a Quantum Computer with Cirq (QuantumCasts)
    Dave Bacon
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  • [B7]
    The Quantum World ~ Quantum Physics for Everyone
    Kenneth W. Ford
    Harvard University Press
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    Principios Fundamentales de Computación cuántica
    Vicente Moret Bonillo
    Profesor Titular de Universidad. Senior Member, IEEE.
    Departamento de Computación. Facultad de Informática.
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    Consultas a Wikipedia de múltiples conceptos

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    Programación Cuántica
    Francisco Gálvez
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    Algoritmo, Generación Distribución
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    Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación
     Modelo de Variables Discretas
    José Enrique González Cornejo
    01 de agosto 2019
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B19]
    Problema de la Ruta Optima
    José Enrique González Cornejo
    01 de mayo 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

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    Nomenclatura DocIRS para la Programación
    José Enrique González Cornejo
    24 de abril 2009
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  • [B21]
    Acerca del Estilo en Programación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
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    Acerca de la Calidad de una Aplicación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B23]
    Fundamentos Teóricos de los
    Lenguajes Estructurados
    José Enrique González Cornejo
    12 de julio de 2011
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B24]
    Propiedades Geométricas Cualitativas
    José Enrique González Cornejo
    15 de marzo 1997
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B25]
    Lunch & Learn: Quantum Computing
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    21 nov. 2018

  • [B26]
    21 Lessons for the 21st Century
    Talks at Google
    Yuval Noah Harari 11 octubre 2018


  • [B27]
    Homo-Deus-A-Brief-History-of-Tomorrow
    Universidad de California,
    Yuval Noah Harari
    27 febrero 2017

  • [B28]
    MIND BLOWN: Quantum Computing &
    Financial Arbitrage
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    18 jun. 2020

  • [B29]
    Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en GAMA
    M. Paredes López - A. Meneses Viveros - G. Morales-Luna
    Departamento de Matemáticas, Cinvestav, Av. Instituto

    Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Departamento de Computación, Cinvestav,

    Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Rev. mex. fís. E vol.64 no.2 México jul./dic. 2018

  • [B30]
    Principios Fundamentales de Computación Cuántica
    2013, Vicente Moret Bonillo
    Universidad de la Coruña-España

  • [B31]
    Informática Cuántica - Parte 1
    Tecnologias Disruptivas
    Alejandro Alomar
    9 jul. 2018
    https://www.youtube.com/watch?v=SisRIgS3oO4

  • [B32]
    Computación Cuántica para Torpes
    Publicado el 26 de septiembre
    de 2016 por Sergio Montoro
    https://lapastillaroja.net/2016/09/
    computacion-cuantica/

  • [B33]
    Intro to Quantum Computing
    Steve Spicklemire
    Lesson 38 Quantum Computing, Deutsch's Problem

  • [B34]
    Learn Quantum Computation using Qiskit
    Page created by The Jupyter Book Community
    Qiskit Development Team Last updated on 2020/07/17.

  • [B35]
    Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM
    Francisco R. Villatoro (Francis Naukas)
    2 noviembre, 2018
    https://francis.naukas.com/2018/11/02/

    disfruta-de-la-experiencia-cuantica-de-ibm/

  • [B36]
    Inversión de Matrices de Números Complejos
    reshish.com 2011 - 2020
    https://matrix.reshish.com/es/
    multCalculation.php

  • [B37]

    Algoritmo de Deutsch
    13 octubre 2016
    Felipe Fanchini
    https://www.youtube.com/watch?v=Sb5WRs8XUuU

  • [B38]
    Desarrollo de un simulador para el protocolo
    de criptografía cuántica E91
    en un ambiente distribuido
    Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015
    Luis Cáceres Alvarez,
    Roberto Fritis Palacios,
    Patricio Collao Caiconte

  • [B39]
    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness
     on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
    0999377
    MSc. Human Technology Interaction
    Department of Innovation Sciences
    Eindhoven University of Technology
    August 2018

  • [B40]

    Así Cambiará el Mundo la
    Computación Cuántica
    2016
    Ignacio Cirac
    https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM

  • [B41]
    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

  • [B42]
    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
    American Mathematical Society.
    Accessible Math in All Browsers


  • [B43]
    El Algoritmo de Deutsch-Jozsa
    KET.G
    25 mar. 2020
    Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG


  • [B44]
    Apuntes de Grupos de Lie
    Badajoz, 30 de diciembre de 2017
    Volumen 3
    1.2. Grupos de Lie

  • [B45]
    Teoria de Grupos
    Marshall Hall jr.
    Bibioteca de Matemática Superior
    1967 Maximilian Company, N.Y. USA

  • [B46]
    Tutorial Grupos de Lie
    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

  • [B47]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    Enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B48]
    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli
    cuantica.blogspot.com/2009/08/

  • [B49]
    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
    Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
    29 de julio de 2020

  • [B50]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
    Phisics
    Explore our Questions

  • [B52]
    Entrevista a Jorge Antonio Vargas,
    FAMAF
    Universidad Nacional de Córdoba de Argentina,
    Investigador del Conicet
    20/01/2010, Pagina|12
    ,

  • [B53]
    Introducción a Grupos y Álgebras de Lie de Dimensión Infinita,
    Matthew Dawson,
    CIMAT- Mérida México noviembre de 2020,
    Instituto de Matemáticas de la UNAM

    (Universidad Nacional Autónoma de México)
    ,

  • [B54]
    Lie Groups:Introduction,
    Richard E. BORCHERDS,
    University of California,
    Department of Mathematics, USA
    ,

  • [B55]
    Lie theory for the Roboticist,
    Joan Solà,
    Institut de Robòtica i Informàtica Industrial, en catalán,
    Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC),

     Cataluña
    Universidad Politécnica de Cataluña (UPC). España

  • [B56]
    A micro Lie theory for state estimation in robotics,
    Joan Solà, Jeremie Deray, Dinesh Atchuthan,
    Diciembre 2021
    arXiv ~ https://arxiv.org,
    Web Accessibility Assistance -arXiv Operational Status

  • [B57]
    Graph Theory,
    Frank Harary,
    1969
    Addison-Wesley
    USA

  • [B58]
    RobotDocIRS,
    José Enrique González Cornejo
    abril 2003
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy


  • [B59]
    Introducción a la Topología Algebraica,
    Williams S. Massey,
    1972
    Editorial Reverté S.A.
    España


  • Paginas Independientes que Contienen los Capítulos del Documento:

  • Conceptos Matemáticos Básicos de
     Computación Cuántica
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • Algoritmo de Deutsch
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy