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Matrices de Pauli y Algebra de Lie
Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie
Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica
José Enrique González Cornejo
v.9.1/Abril 2021
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¿Cuál es la relación entre las Matrices de Pauli y el Algebra de Lie?
Breve Introducción
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$$ \sigma_1=\sigma_X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$  $$ \sigma_2=\sigma_Y= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} $$  $$ \sigma_3=\sigma_Z= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} $$  |
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Definición y Acción de las Puertas de Pauli
Las tres matrices de Pauli31 $X, Y, Z$ son de gran utilidad en la programación de circuitos cuánticos y debajo de ellas, se encierra un gran desarrollo del Algebra Abstracta y de la Mecánica Cuántica. En efecto, las tres puertas de Pauli son un conjunto de operadores matemáticos (matrices) que se utilizan en la teoría de la información cuántica para formar una base de otras puertas cuánticas más complejas.
Haré un enfoque muy específico de las Matrices de
Pauli, orientado a entregar ciertos conceptos matemáticos básicos del Algebra de Lie, la cual sustenta en variados aspectos la programación cuántica. Nótese que las Algebras de Lie89, son más amplias que este enfoque de computación cuántica que tratamos en el presente artículo. Enfoque que sólo hemos reducido a matrices complejas de $2\times 2$. (Ver Aplicaciones ~ Definición Algebra de Lie 
Algebra de Lie ~ Variedades114 Diferenciables
Estas tres matrices de Pauli son una piedra angular en la programación de circuitos cuánticos. Incluyendo la Puerta de Hadamard, - que es un operador fundamental en los algoritmos con superposición cuántica -, y que
justamente -, se obtiene de una combinación lineal de las matrices de Pauli:
En otros términos: $H =\frac{1}{\sqrt{2}}(X + Z)$. Esto implica que se produce una rotación sobre el eje $y$ de un ángulo $\frac{π}{2}$ e inmediatamente otra rotación de un ángulo $π$ sobre $x$. (Ver Amplitudes Equiprobables
Puerta Cuántica de Hadamard)
 $H$ Puerta de Hadamard~Esfera de Bloch 
Circuito Cuántico~IBM Composer |
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Puerta Cuántica $X$ análoga a NOT
ii) Lineal: $α_0 |0〉 + α_1 |1〉 → α_1 |1〉 + α_0|0〉$ ii) Sea unitario ($|α_0|^{2} + |α_1|^{2} = 1$). Es decir, esta puerta Pauli $X$ , opera como una puerta $NOT$, cambia de un estado básico a otro (viceversa). La puerta $NOT$ es equivalente a la puerta $RX$ (del IBM Quantum Composer), para el ángulo $\pi$ radianes de rotación en torno al eje de las $x$.
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Puerta Cuántica $Y$
El operador es equivalente a una rotación de $\pi$ radianes en torno al eje de la $y$: |
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$$ \sigma_2=\sigma_Y=Y= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} $$ |
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Aplicamos el operador $Y$ $ Y|0〉= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \left[\begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 0\\-i \end{matrix}\right] $ $ Y|1〉= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \left[\begin{matrix} 0\\1 \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} -i\\0 \end{matrix}\right] $ |
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∴ Su acción sobre un qubit es: 
$Y$ ibm quantum experience-fuente gates glossary |
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Puerta Cuántica $Z$
Es decir, la transformación lineal $Z$, cambia de signo la amplitud cuando
se aplica al estado del qubit $|1〉$ y lo deja igual cuando se opera con el estado del qubit $|0〉$.
 $Z$ ibm quantum experience-fuente gates glossary |
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Equiparse con Más Matemática
Para aquellos que se están
equipando con más matemática, se hace necesario mencionar el Algebra de
Lie81
y tratar las propiedades de grupo.
En general, los programadores en sus algoritmos de computación cuántica utilizan las Puertas de Pauli frecuentemente, - poniendo y sacando objetos sobre los cables del circuito, ejecutando y probando su algoritmo -, pero sólo conociendo la acción de dichas transformaciones en forma operativa. 
Vista del Editor Circuit Composer de IBM
Representación Exponencial de la Matrices de Pauli
De donde, se pueden reacomodar los términos, separando la parte real de la parte compleja, para obtener la serie de la funciones $sin(\frac{\phi}{2}) \text{ y } cos(\frac{\phi}{2})$, dado que las potencias del imaginario $\large{i}^k$ irán tomado valores $\unicode{123}\large{\pm i, \pm 1}\unicode{125}$ en la expansión.
Por tanto, al especificar el operador general de rotación para una rotación de $\Large{\phi=\pi}$: $$\require{cancel} \large{e}^{\large{i\sigma_k(\frac{\pi}{2})}}=I·\cancelto{0}{\cos(\frac{\pi}{2})} + \large{i}\sigma_k· \cancelto{1}{\sin(\frac{\pi}{2})}$$ Dado que $\large{\cos(\frac{\pi}{2})=0\quad\text{ y }\quad \sin(\frac{\pi}{2})=1}$, se deduce que: $$\bbox[8px,border:1px solid #000000]{\Large{e}^{\large{i\sigma_k(\frac{\phi}{2})}}=\large{i \sigma_k}}\qquad\quad[L7.2]$$ $$\Large {\Rightarrow} $$
$$\Large {\Rightarrow} $$ Multiplicando $[L7.2]$ por $\Large{\frac{1}{i}}$ se tiene que: $$ \require{cancel} \Large{\frac{e^{i\sigma_k{(\frac{\phi}{2})}}}{i}=\cancel{i}\frac{\sigma_k}{\cancel{i}}=\sigma_k \Rightarrow -ie^{i\sigma_k{(\frac{\phi}{2})}}=\sigma_k}$$, $$\Large {\Rightarrow} $$
Otro Enfoque Exponencial Equivalente Equivalentemente se puede abordar la exponenciación de la Matrices de Pauli a partir de la ecuación: $$\large {e}^{i\frac{\phi}{2}}=\cos(\frac{\phi}{2}) + i\sin(\frac{\phi}{2})$$ Utilizando propiedades de la matrices de Pauli como la potencias pares $\sigma_x^{2}=\sigma_y^{2}=\sigma_z^{2}=I$, i.e. $\sigma_k ^{2n}=I$ y las potencias impares $\sigma_k^{2n+1}= \sigma_k^{2n}\sigma_k=I\sigma_k=\sigma_k$, donde $n \in \mathbb{N}$ (en este caso los enteros positivos). Las funciones trigonométricas senos y cosenos, son expandibles como series de Taylor con ángulos infinitesimales. $$sin(\frac{\phi}{2})=\frac{1}{1!}(\frac{\phi}{2})^1 - \frac{1}{3!}(\frac{\phi}{2}){^3} + \frac{1}{5!}(\frac{\phi}{2})^{5}-\frac{1}{7!}(\frac{\phi}{2})^{7} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(\frac{\phi}{2})^{2n+1}$$ $$cos(\frac{\phi}{2})=1 - \frac{1}{2}(\frac{\phi}{2})^{2} + \frac{1}{4!}(\frac{\phi}{2})^{4} + -\frac{1}{6!}(\frac{\phi}{2})^{6}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n!}(\frac{\phi}{2})^{2n}$$ Luego, $$\large{e^{i\sigma_k{(\frac{\phi}{2})}}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\frac{\phi}{2})^{n}}{n!}\sigma_k^n$$ Separando las potencias pares de las impares de la sumatoria y sustituyendo por las igualdades $\large{i^{2n}=(-1)^n,\quad (i)^{2n+1}=(-1)^n\large i}$, se tiene: $$ \large{e^{i\sigma_k{(\frac{\phi}{2})}}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i)^{2n}(\frac{\phi}{2})^{2n}} {(2n)!}\sigma_k^{2n} +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i)^{2n+1}(\frac{\phi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}\sigma_k^{2n+1} $$ $$ \large{e^{i\sigma_k{(\frac{\phi}{2})}}}=I·\underbrace{\bbox[8px,border:1px solid #e2e2e2]{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n!}(\frac{\phi}{2})^{2n}}}_{\Large { \cos(\frac{\phi}{2})}} + \large{i} · \sigma_k \underbrace{\bbox[8px,border:1px solid #e2e2e2]{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(\frac{\phi}{2})^{2n+1}}}_{\Large {\sin(\frac{\phi}{2})}} $$ $$\Large {\Rightarrow} $$ Para una rotación de $\Large{\phi=\pi}$: $$\require{cancel} \large{e}^{\large{i\sigma_k(\frac{\pi}{2})}}=I·\cancelto{0}{\cos(\frac{\pi}{2})} + \large{i}\sigma_k· \cancelto{1}{\sin(\frac{\pi}{2})}$$ Dado que $\large{\cos(\frac{\pi}{2})=0\quad\text{ y }\quad \sin(\frac{\pi}{2})=1}$, se deduce que: $$\bbox[8px,border:1px solid #000000]{\Large{e}^{\large{i\sigma_k(\frac{\phi}{2})}}=\large{i \sigma_k}}\qquad\quad[L7.2]$$
Pauli ~ ¿Base Espacio Vectorial?
Las Matrices de Pauli Conforman una Base del Algebra de Lie (de $SU(2)$)
Nota.-
Luego, como las matrices de Pauli sí conforman una Base del Algebra
de Lie, lo que implica que toda matriz $M$ unitaria de $2 \times 2$ de representación $SU(2)$ se
puede expresar como una combinación lineal de las matrices de Pauli. En
otras palabras, existen coeficientes $\alpha_i,\text{ con }i=0,1,2,3$ en
los complejos que permiten esa combinación líneal:
También la matriz $M$ se puede escribir como $M = A+\mathbf {\mathit{i}} B$, donde tanto $A$ como $B$ son matrices hermitianas ($M=(M^{T})^{*}$ Ver Propiedades). Entonces, existen números reales únicos $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_0,\beta_1,\beta_2,\beta_3$, donde:
Ejemplo Algebra de Lie con Matrices $2\times 2$ con Pauli:
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Delta de Kronecker
A continuación se mostrará que según el valor que adquiera
$\delta_{ij}$, se puede obtener cualquiera de las tres matrices
o utilizar algebraicamente esta reducción, a fin de sintetizar
el uso de los atributos de rotación y simetría que se generan
con estas transformaciones. |
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De modo que la representación de cada matriz de Pauli $\sigma_i$
se puede expresar en función del Delta de Kronecker con la
siguiente matriz compacta: |
$$ \sigma_i= \begin{pmatrix} \delta_{i3} & \delta_{i1}-i·\delta_{i2} \\ \delta_{i1}+i·\delta_{i2}&-\delta_{i3} \\ \end{pmatrix} $$ Donde $i=1,2,3 \quad\text{ i.e. }\quad\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ son igual que $\sigma_X,\sigma_Y\sigma_Z$ respectivamente. (Así mismo $i=\sqrt{-1}$). |
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Características de las Matrices de Pauli
Las
matrices de Pauli corresponden a las características de matrices
de rotación que conforman una base del Algebra de Lie,
del grupo especial SU(2).
Las
Matrices de Pauli No Constituyen un Grupo
De donde se puede deducir cuales son los elementos faltantes para
configurar un conjunto cerrado, que permita constituir un
Grupo79.
Extensión Matrices
de Pauli Conformación de Grupo
Aún más, con el grupo extendido $G$ es posible obtener todas las rotaciones de $\pi$ en torno a los ejes de coordenadas sobre el plano cartesiano. Claramente, $G$ no es Abeliano.
Tabla de Operaciones del Grupo G
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Síntesis: Propiedades Puertas de Pauli y el Algebra de Lie
En síntesis, las tres transformaciones de Pauli $\unicode{123}\sigma_X,\sigma_Y,\sigma_Z\unicode{125}$,
- son puertas cuánticas involutivas ($I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I$) y además Hermíticas o Hermitianas, i.e. $M=(M^{T})^{*}\Rightarrow
M$ es igual a su transpuesta conjugada
y se representan en rotaciones $\pi$ radianes en torno al eje de su
propio nombre sobre la esfera de Bloch, i.e. en el espacio euclidiano
tridimensional $R^{3}$88.
$$\sigma_X=\sigma_X^{-1}=\sigma_X^{T}\quad \text{, } \sigma_Y=\sigma_Y^{-1}=\sigma_Y^{T}\quad \text{, }\sigma_Z=\sigma_Z^{-1}=\sigma_Z^{T}$$.
Matemáticamente, esto significa que las Matrices de Pauli,
corresponden a las características de matrices de rotación que conforman
una base para el Algebra de Lie, del grupo SU(2).
En efecto, sea $G$ un grupo definido en los complejos (con las
operaciones de adición ordinaria de vectores y multiplicación de
matrices), tal que es el conjunto de todas las matrices $M$ de
$2\times2$ cuya determinante $Det(M)\pm-1$ y la inversa de $M^{-1}=M^{T}$,
i.e. la inversa de $M$ es igual a su matriz transpuesta. (Una matriz
ortogonal es una matriz real cuya inversa es igual a su transposición).
Conclusión y Transformación Isomorfa $T: P=\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125} \longrightarrow R^{8}$
Desde el punto de vista computacional la incorporación del factor unidad imaginaria $i$, multiplicando los tres operadores de Pauli, se hace más conveniente llevarlo de los Complejos a los Reales, a fin de que los programadores asimilen el concepto de las Algebras de Lie con un nivel de menos abstracción.
Esta propiedad de isomorfismo implica que $T: P=\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125} \longrightarrow R^{8}$ es biyectiva y lineal, lo que permite transformar bases de un espacio al otro (vice versa)92.
En síntesis, la tabla muestra que existe un isomorfismo entre la matriz idéntica junto a las matrices Pauli(i.e $\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125}$ ), - desde $M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ - , con una base de un espacio vectorial en $R^{8}$.
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Ejemplo Introductorio $\mathbf {z} \in C$ ~ Grupo de Lie
Normalización(Ver Complejos Normalizados en Coordenadas Polares)
Se extraen algunos párrafos del documento central Complejos Normalizados en Coordenadas Polares" concernientes a la Normalización de un número complejo, a fin de desarrollar un ejemplo del Grupo de Lie102 en $S(1)$ de rotación pasiva generado por un determinado vector normalizado $ z\in C$ en torno al origen $0$.
 Rotación Pasiva en el Plano $\mathbb C$
Dicho matemáticamente, se operará bajo el concepto de espacio de Hilbert o espacio euclídeo, con vectores y matrices unitarias, permite ilustrar gráficamente, - normalizar sobre el círculo unitario (conexo) -, un vector $z \in C$, también denotado como $\mathbf {z_{\theta}}$ que caracteriza derechamente una transformación de rotación pasiva o Grupo de Lie109.
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