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Ejemplo $Sl_{2}$ ~ Grupo Lineal Especial
y sus Generadores del Algebra de Lie

José Enrique González Cornejo
septiembre 2022



Ejemplo Sl2 ~ Grupo Lineal Especial




 Grupo $\mathbf {Sl_2 \longrightarrow}$ Algebra de Lie $\mathfrak{\Large g}$

$$ \large{Sl_2=\Bigg\{M=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix}\Bigg/det(M)=ad-bc=1\Bigg\}\qquad\quad \bbox[#FFFFE0] {(AL1)}} $$



$\large{Sl_2}$ es un grupo de Lie muy representativo y se presta para generar un Algebra de Lie, como así mismo para ilustrar su estructura algebraica son sus elementos de transformación lineal mediante la llamada Teoría de las Representaciones, la cual será mencionada al fin de esta demostración 150.

Desde esta conformación de grupo $Sl_2 \in GL(\mathbb R^2,\text{·})$, se define como el conjunto de matrices de $2 \times 2$ cuyas determinantes son igual a uno, - rotulada como $(AL1)$. A este grupo de Lie $Sl_2$, es posible asociarle un Algebra de Lie $\large{\mathfrak g}$, mediante una aproximación geométrica.

Nota.- Téngase presente que cualquier Algebra de Lie es por definición un espacio vectorial con un producto (el conmutador) que satisface las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con la identidad de Jacobi.


Aún más, dada la definición de $Sl_2$ es importante recordar que la determinante de una matriz cuadrada es un polinomio de sus entradas, por lo que es infinitamente diferenciable.142

A continuación se mostrará que desde $Sl_2 \times Sl_2 \longrightarrow Sl_2$, de obtienen tres generadores de $\large{\mathfrak {g}}$, i.e. $Sl_2=\pmb{span\unicode{123}E,F,H\unicode{125}}$,- (Esa es la notación estándard, aquí se utilizará la notación $\pmb{\mathfrak{rg}=\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}}$). Estos generadores son matrices unitarias que van a ser conmutadas con la operación binaria corchetes de Lie, resultando $\large{\mathfrak {g}}$ es el conjunto de matrices antisimétricas, que llamaremos Algebra de Lie del grupo $Sl_2$:

$$\large{\mathfrak {g}}=\unicode{123} M \in \mathbb{R^n} \text{ / } \underbrace{M^T=-M}_{\text{Antisimetría}} \unicode{125}$$

En efecto, si parametrizamos los elementos de la matriz $M$ en $(AL1)$ como $a(t),b(t),c(t),d(t)$, i.e. con una función diferenciable $\varphi(t) \in Sl_2(\mathbb R)$, entonces se puede asumir que existe una curva $C$ que se desplaza sobre la superficie lisa del objeto.

Luego, bosquejamos en la figura#1 una curva $C$ continua y diferenciable que se desliza sobre esa (manifold) superficie suave tridimensional:


Fig#1 $\large{\varphi(t)}$: Curva $C$ sobre Variedad Suave



Entonces, $(AL1)$, en términos paramétricos se expresa con la siguiente la matriz:

$$\varphi(t)=\begin{pmatrix} a(t) & b(t)\\c(t) & d(t)\\ \end{pmatrix}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL2)}$$
Es decir, se asume que esta función $\varphi(t)$ del grupo $Sl_2$, determina una curva sobre la variedad en el plano 3-dimensional euclidiano, de modo que tiene un punto neutro igual a la idéntica. (Ver figura #2)135

Luego, al evaluar la derivada $\varphi(t)$ de la función en el punto identidad $I$, se genera un plano tangente a la variedad en ese punto, y consecuentemente un Algebra de Lie asociada. Es decir, el Algebra de Lie de un Grupo de Lie, es definido como el espacio tangente en la identidad.

Ilustremos su demostración:

Sea $X=\begin{pmatrix} x & y\\z & w\\ \end{pmatrix} $, el conjunto de matrices de $2\times 2$ que genera un álgebra de Lie $\large{\mathfrak g}$.

Donde,

$$X=\varphi'(0)=\begin{pmatrix} a'(0) & b'(0)\\c'(0) & d'(0)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x & y\\z & w\\ \end{pmatrix}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL3)} $$
$$\Rightarrow$$

$$x=a'(0)$$
$$y=b'(0)$$
$$z=c'(0)$$
$$w=d'(0)$$

Nota.- En otras palabras, la matriz $X$ generadora del Algebra de Lie $\large{\mathfrak g}$ es la derivada de la función $\large{\varphi(t)}$ evaluada en $\large{t=0}$, por tanto $\large{\unicode{123}x,y,z,w\unicode{125}\equiv \unicode{123}a'(0),b'(0),c'(0),d'(0)\unicode{125}}$. Notación de elementos respectivos, que se utilizarán indistintamente en el presente desarrollo.





Fig#2: Variedad (Manifold) ~ Espacio Tangente $\large{\mathfrak {g}}$



Se asume que existe una curva $C$, definida por $\varphi(t)$ , tal que:

$$\varphi(\mathbb R):\longrightarrow Sl_2(\mathbb R)$$
$\Rightarrow$
$$\varphi(t)=\begin{pmatrix} a(t) & b(t)\\c(t) & d(t)\\ \end{pmatrix}=a(t)d(t)-b(t)c(t)=1\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL4)} $$
Evaluando la función $\varphi$ en el neutro $e$, i.e. en $t=0$ y sabiendo que $\varphi(0)=I$, tenemos:

$$\varphi(0)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\\ \end{pmatrix}\quad\Rightarrow \begin{matrix} a(0)=d(0)=1\\b(0)=c(0)=0\\ \end{matrix} \qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL4.1)} $$

Ahora, consideremos la siguente expresión (extraída desde $(AL4)$), para aplicar la diferenciación:

$$\bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\varphi(t)=a(t)d(t)-b(t)c(t)=1}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL5)}$$

De donde se deriva implícitamente la función $\varphi(t)$ con respecto al parámetro $t$:

$$\varphi'(t)=\underbrace{a'(t)d(t)+a(t)d'(t)}_{\large{(a(t)·d(t))'}}-\underbrace{(b'(t)c(t)+b(t)c'(t))}_{\large{(b(t)·c(t))'}}=\underbrace{0}_{\large{\frac{d(1)}{dt}=0}}$$


Evaluando la derivada $\varphi'(t)$ en $t=0$ y usando $(AL5)$, tenemos:

$$ \underbrace{a'(0)}_{\large{x}} d(0) + a(0)\underbrace{d'(0)}_{\large{w}}-\underbrace{b'(0)}_{\large{y}}c(0)-b(0)\underbrace{c'(0)}_{\large{z}})=0$$
Sustituyendo los valores de $(AL4.1)$, i.e. $a(0)=d(0)=1 \land b(0)=c(0)=0$ en $(AL6)$ y simplificando:

$$\varphi'(0)=\require{cancel} {a'(0)\cancelto{1}{d(0)} + \cancelto{1}{a(0)}d'(0)-b'(0)\cancelto{0}{c(0)}-\cancelto{0}{b(0)}c'(0)=0}$$
$$\Rightarrow$$
$$\varphi'(0)=\underbrace{a'(0)}_{\large{x}}+ \underbrace{d'(0)}_{\large{w}}=0$$

Considerando $(AL3)$. Es decir:

$$x=a'(0)$$

$$y=b'(0)$$

$$z=c'(0)$$

$$w=d'(0)$$


$$\Rightarrow$$
$$\mathbf {a'(0)=-d'(0) \iff x=-w}$$

De donde se conecta una representación de un álgebra de Lie $\mathfrak g$ de la forma:

$$\mathfrak{rg}=\Bigg\{\begin{pmatrix}x & y\\z & w\\\end{pmatrix}\Bigg/x=-w\Bigg\}$$

Extendiendo todas las combinaciones con la condición $\large{\mathbf {x=-w} \quad \Rightarrow}$, se obtienen tres matrices:


$$ \large{\mathfrak {rg}}=\Bigg\{ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} \Bigg\}=\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125} \qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL6)}$$

Nota.- $\large{\mathfrak{rg}}=\unicode{123}E,F,H\unicode{125}\equiv \unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}$

$\unicode{123}E,F,H\unicode{125}$ es una notación estándard equivalente, utilizada en variadas pubilicaciones para referirse a estas tres matrices generadoras $\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}$.



 Conmutadores del Algebra de Lie $\large{\mathfrak g}$

Aplicamos al conjunto $\large{\mathfrak{rg}=\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}}$ la operación binaria Corchetes de Lie, $[XY]=XY-YX$, para probar que cumple las propiedades89 requeridas para constituir un Algebra de Lie.

Veremos una síntesis de los resultados en la siguiente tabla:

Tabla con Corchetes de Lie ~ Generadores $Sl_2$

[· , ·]

$\mathbf {g_1}$

$\mathbf {g_2}$

$\mathbf {g_3}$

$\mathbf {g_1}$

$0$

$g_3$

$-2g_1$

$\mathbf {g_2}$

$-g_3$

$0$

$2g_2$

$\mathbf {g_3}$

$2g_1$

$-2g_2$

$0$



Explícitamente, operando matricialmente:



Luego, desde un punto de vista de la geometría euclídea este grupo especial $Sl_2$ se conecta con un Algebra de Lie $\large{\mathfrak g}$ mediante una representación que llamamos $\large{\mathfrak{rg}}$ del espacio tangente al punto Identidad, utilizando la operación binaria, - previamente definida -, Corchetes de Lie, i.e. se satisfacen las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con identidad de Jacobi.

El grupo lineal especial $Sl\subset G(n)$, se puede generalizar a un Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$, formada por todas las matrices de $n\times n$, sobre el cuerpo de los reales o complejos y cuya traza es nula.

Particularmente en los reales, $\large{\mathfrak {g}}$ es el conjunto de todas las matrices n-dimensionales antisimétricas, que llamaremos Algebra de Lie del grupo $Sl_n$.

Definida como:

$$\large{\mathfrak {g}}=\unicode{123} M \in \mathbb{R^n} \text{ / } \underbrace{M^T=-M}_{\text{Antisimetría}} \unicode{125}$$

 Cierre de la Demostración

Por tanto, se ha mostrado que desde el producto vectorial de este grupo de Lie $\mathbf {Sl_2}$ se obtienen tres generadores. Es decir, $\mathbf {Sl_2=}$span$\unicode{123}\mathbf {E, F, H}\unicode{125}$ o $\large{\mathfrak {rg}}=\unicode{123}\mathbf {g1, g2, g3}\unicode{125}$. Esta última $\large{\mathfrak {rg}}$, es la notación utilizada en este artículo.

Estos tres generadores $\large{\mathfrak {rg}}$ son las matrices unitarias:

$$ \large{\mathfrak {rg}}= \Bigg\{ \overbrace{ \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{E}}} }^{\large{g_1}} , \overbrace{\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{F}}}}^{\large{g_2}}, \overbrace{ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{H}}}}^{\large{g_3}} \Bigg\} $$

Donde, las relaciones de conmutación de estas matrices con la operación binaria Corchetes de Lie, se señalan a continuación con ambas notaciones ($\mathfrak{rg}=\unicode{123}E,F,H\unicode{125}\equiv \unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}$):


Desde ahí resulta $\large{\mathfrak {g}}$, que es el conjunto de matrices antisimétricas que llamaremos Algebra del Lie del Grupo $\mathbf {Sl_2}$

El ejercicio muestra que $\large{\mathfrak {rg}}$ es un conjunto de vectores del álgebra de Lie que pueden ser utilizados operando con los corchetes de Lie para obtener cualquier elemento del espacio.

En otrós términos, todo elemento del Algebra $\large{\mathfrak {g}}$ puede ser expresado como una combinación lineal de los generadores de base $\large{\mathfrak {rg}}$.

Lo interesante es que $\large{\mathfrak {g}}$ permite estudiar las propiedades del grupo de Lie de una forma más algebraica, i.e. sin recurrir a la propiedades geométricas específicas del grupo, lo que resulta especialmente útil en el estudio de los grupos de Lie y sus aplicaciones como la geometría diferencial y la teoría de representaciones.

La directa y estrecha relación entre el grupo de Lie y su correspondiente álgebra es unívoca 147.

Esta conexión se manifiesta. - ilustrado en este ejercicio -, entre los generadores de ambas estructuras, i.e. $\large{\mathfrak {rg}}$ y los generadores infinitesimales del grupo de Lie $Sl_2$ 160. (Ver Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie




 Otro Ejemplo de Representación de Algebra de Lie

El hecho de que $Sl(n,R)$ sea simple, pone a disposición la teoría de las representaciones de álgebras de Lie para ilustrar en muy buena forma un natural ejemplo de aplicación.

En efecto, un ejemplo análogo de $Sl_2$ se expone de manera excelente, - para todos aquellos que requieran profundizar sobre las representaciones de Dynkin y Algebra de Lie-, en la clase dentro del aula "Lie Algebra Representations" del profesor André Henriques (Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford) publicada en Youtube en agosto del 2015. $[B60]$

En esa clase muy pedagógica, André Henriques expone un ejemplo de $Sl_2$, de la forma:

$$Sl_2=\Bigg\{M=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix}\Bigg/a+d=0\Bigg\}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL7)}$$

Extendiendo las tres matrices unitarias generadoras del Algebra de Lie asociada, que satisfacen condición $a+d=0$, las cuales se rotulan como span $\unicode{123} H,E,F \unicode{125}$, de donde:

$$ H= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} $$
$$ E= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$
$$ F= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} $$
Operando estas matrices con Corchetes de Lie:

$[HE]=2E$

$[HF]=-2F$

$[EF]=H$



Diagramando y explicando detalladamente una representación de $(AL7)$ con un punto para cada dimensión, (i.e. en 5 dimensiones). Conectando en dirección hacia la derecha los puntos, después en dirección opuesta y tambien conexión de los puntos consigo mismo. Posteriormente mostrando como se satisfacen las operaciones de los corchetes de Lie en la representación gráfica.


Representación:  $G$ $\longrightarrow$ Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$141



Para finalizar, recomiendo consultar la conferencia o clase, acerca de los Grupos de Lie $SL(2,\mathbb C)$ y sus Algebra de Lie asociada del profesor Dr. Frederic Schuller de la Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, 21 sept 2015: "The Lie group $SL(2,C)$ and its Lie algebra $sl(2,C)$$[B61]$. Sumado a una serie de publicaciones atingentes del Dr. Schuller en "Lectures on Geometrical Anatomy of Theoretical Physics"







 Notas Adjuntas





Videografía y Bibliografía

  • [B1]
    Quantum Computation 5: A Quantum Algorithm
    David Deutsch, Autor del Algoritmo
    Centre for Quatum Computation
    https://www.youtube.com/watch?v=3I3OBFlJmnE

  • [B2]
    Curso Computación Cuántica
    Eduardo Sáenz de Cabezón
    26 abril 2019
    Instituto de Matemáticas de la UNAM, México
    https://www.youtube.com/watch?v=KKwjeJzKezw

  • [B3]
    Quantum Optics
    Miguel Orszag,
    Pontificia Universidad Católica - Santiago de Chile
    Editorial Springer ~ 2016


  • [B4]
    Quantum Optics - Mark Fox - Oxford University Press
    22 jun. 2006 - Oxford Master Series in Physics.
    Capítulo 13
    https://www.academia.edu/24696066/



  • [B5]
    Quantum Computing Explain
    David McMahon on 2007
    WILEY-INTERSCIENCE
    A John Wiley & Sons, Inc., Publication
    https://www.academia.edu/31537353

    /_David_McMahon_Quantum_
    Computing_Explained_BookFi_1_

  • [B6]
    Programming a Quantum Computer with Cirq (QuantumCasts)
    Dave Bacon
    Google

  • [B7]
    The Quantum World ~ Quantum Physics for Everyone
    Kenneth W. Ford
    Harvard University Press
    Cambridge Massachusetts
    London England ~ 2004

  • [B8]
    Principios Fundamentales de Computación cuántica
    Vicente Moret Bonillo
    Profesor Titular de Universidad. Senior Member, IEEE.
    Departamento de Computación. Facultad de Informática.
    Universidad de la Coruña
    2O13

  • [B9]
    Quantum Networks for Elementary Arithmetic Operations
    Vlatko Vedral, Adriano Barenco and Artur Ekert
    Clarendon Laboratory, Department of Physics
    University of Oxford, Oxford, OX1 3PU, U.K.
    (Submitted to Phys. Rev. A)
    16 de Noviembre 1995

  • [B10]
    Quantum computing for the determined
    Michael Nielsen on June 10, 2011
    http://michaelnielsen.org/blog/

    quantum-computing-for-the-determined/
    https://www.youtube.com/watch?v=x6gOp_o7Bi8

  • [B11]
    QC — Quantum Algorithm with an example
    Jonathan Hui
    Dec 6, 2018
    https://medium.com/@jonathan_hui/qc-quantum-

    algorithm-with-an-example-cf22c0b1ec31

  •  
  • [B12]
    [W] Wikipedia
    Consultas a Wikipedia de múltiples conceptos

    relacionados a la Mecánica y Computación Cuántica
    https://en.wikipedia.org

  • [B13]
    Programación Cuántica
    Francisco Gálvez
    T3chFest 2017
    IBM
    https://www.youtube.com/watch?v=FYAkeCcOgeQ

  • [B14]
    Quantum Computation (CMU 18-859BB, Fall 2015)
    Lecture 1: Introduction to the Quantum Circuit Model
    September 9, 2015
    Lecturer: Ryan O’Donnell Scribe: Ryan O’Donnell

  • [B15]
    Hipertexto: Tratamiento Documental de Datos
    José Enrique González Cornejo
    Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación,
    CIDE, Santiago – Chile, 1990.
    Registro Nº81.183 - 1991 ~ Editoria Argué Ltda

  • [B16]
    Algoritmo para el Cambio de Base Numérica
    José Enrique González Cornejo
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy Junio 2014
    https://www.docirs.cl/algoritmo_cambio_base.htm

  • [B17]
    Algoritmo, Generación Distribución
    Aleatoria Discreta de Suma 1
    José Enrique González Cornejo
    11 de julio 2012
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

    https://www.docirs.cl/
    Algoritmo_Distribucion_Aleatoria.htm

  • [B18]
    Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación
     Modelo de Variables Discretas
    José Enrique González Cornejo
    01 de agosto 2019
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B19]
    Problema de la Ruta Optima
    José Enrique González Cornejo
    01 de mayo 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B20]
    Nomenclatura DocIRS para la Programación
    José Enrique González Cornejo
    24 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B21]
    Acerca del Estilo en Programación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B22]
    Acerca de la Calidad de una Aplicación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B23]
    Fundamentos Teóricos de los
    Lenguajes Estructurados
    José Enrique González Cornejo
    12 de julio de 2011
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B24]
    Propiedades Geométricas Cualitativas
    José Enrique González Cornejo
    15 de marzo 1997
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B25]
    Lunch & Learn: Quantum Computing
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    21 nov. 2018

  • [B26]
    21 Lessons for the 21st Century
    Talks at Google
    Yuval Noah Harari 11 octubre 2018


  • [B27]
    Homo-Deus-A-Brief-History-of-Tomorrow
    Universidad de California,
    Yuval Noah Harari
    27 febrero 2017

  • [B28]
    MIND BLOWN: Quantum Computing &
    Financial Arbitrage
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    18 jun. 2020

  • [B29]
    Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en GAMA
    M. Paredes López - A. Meneses Viveros - G. Morales-Luna
    Departamento de Matemáticas, Cinvestav, Av. Instituto

    Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Departamento de Computación, Cinvestav,

    Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Rev. mex. fís. E vol.64 no.2 México jul./dic. 2018

  • [B30]
    Principios Fundamentales de Computación Cuántica
    2013, Vicente Moret Bonillo
    Universidad de la Coruña-España

  • [B31]
    Informática Cuántica - Parte 1
    Tecnologias Disruptivas
    Alejandro Alomar
    9 jul. 2018
    https://www.youtube.com/watch?v=SisRIgS3oO4

  • [B32]
    Computación Cuántica para Torpes
    Publicado el 26 de septiembre de 2016 por Sergio Montoro
    https://lapastillaroja.net/2016/09/computacion-cuantica/

  • [B33]
    Intro to Quantum Computing
    Steve Spicklemire
    Lesson 38 Quantum Computing, Deutsch's Problem

  • [B34]
    Learn Quantum Computation using Qiskit
    Page created by The Jupyter Book Community
    Qiskit Development Team Last updated on 2020/07/17.

  • [B35]
    Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM
    Francisco R. Villatoro (Francis Naukas)
    2 noviembre, 2018
    https://francis.naukas.com/2018/11/02/

    disfruta-de-la-experiencia-cuantica-de-ibm/

  • [B36]
    Inversión de Matrices de Números Complejos
    reshish.com 2011 - 2020
    https://matrix.reshish.com/es/multCalculation.php

  • [B37]
    Algoritmo de Deutsch
    13 octubre 2016
    Felipe Fanchini
    https://www.youtube.com/watch?v=Sb5WRs8XUuU

  • [B38]
    Desarrollo de un simulador para el protocolo
    de criptografía cuántica E91
    en un ambiente distribuido
    Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015
    Luis Cáceres Alvarez,
    Roberto Fritis Palacios,
    Patricio Collao Caiconte

  • [B39]
    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness
     on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
    0999377
    MSc. Human Technology Interaction
    Department of Innovation Sciences
    Eindhoven University of Technology
    August 2018

  • [B40]
    Así Cambiará el Mundo la Computación Cuántica
    2016
    Ignacio Cirac
    https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM

  • [B41]
    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

  • [B42]
    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
    American Mathematical Society.
    Accessible Math in All Browsers


  • [B43]
    El Algoritmo de Deutsch-Jozsa
    KET.G
    25 mar. 2020
    Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG


  • [B44]
    Apuntes de Grupos de Lie
    Badajoz, 30 de diciembre de 2017
    Volumen 3
    1.2. Grupos de Lie

  • [B45]
    Teoria de Grupos
    Marshall Hall jr.
    Bibioteca de Matemática Superior
    1967 Maximilian Company, N.Y. USA

  • [B46]
    Tutorial Grupos de Lie
    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

  • [B47]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    Enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B48]
    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli

  • [B49]
    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
    Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
    29 de julio de 2020

  • [B50]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
    Phisics
    Explore our Questions

  • [B52]
    Entrevista a Jorge Antonio Vargas,
    FAMAF
    Universidad Nacional de Córdoba de Argentina,
    Investigador del Conicet
    20/01/2010, Pagina|12
    ,

  • [B53]
    Introducción a Grupos y Álgebras de Lie de Dimensión Infinita,
    Matthew Dawson,
    CIMAT- Mérida México noviembre de 2020,
    Instituto de Matemáticas de la UNAM

    (Universidad Nacional Autónoma de México)
    ,

  • [B54]
    Lie Groups:Introduction,
    Richard E. BORCHERDS,
    University of California,
    Department of Mathematics, USA
    ,

  • [B55]
    Lie theory for the Roboticist,
    Joan Solà,
    Institut de Robòtica i Informàtica Industrial, en catalán,
    Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC),

     Cataluña
    Universidad Politécnica de Cataluña (UPC). España

  • [B56]
    A micro Lie theory for state estimation in robotics,
    Joan Solà, Jeremie Deray, Dinesh Atchuthan,
    Diciembre 2021
    arXiv ~ https://arxiv.org,
    Web Accessibility Assistance -arXiv Operational Status

  • [B57]
    Graph Theory,
    Frank Harary,
    1969
    Addison-Wesley
    USA

  • [B58]
    RobotDocIRS,
    José Enrique González Cornejo
    abril 2003
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy


  • [B59]
    Introducción a la Topología Algebraica,
    Williams S. Massey,
    1972
    Editorial Reverté S.A.
    España


  • [B60]
    Lie Algebra Representations
    André Henriques
    Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford
    agosto del 2015.


  • [B61]
    The Lie group $SL(2,C)$ and its Lie algebra $sl(2,C)$
    Dr. Frederic Schuller
    Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
    21 sept 2015


  • Paginas Independientes del autor que Contienen los Capítulos del Documento:

  • Conceptos Matemáticos Básicos de
     Computación Cuántica
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • Algoritmo de Deutsch
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy