Grupo $\mathbf {Sl_2 \longrightarrow}$ Algebra de Lie $\mathfrak{\Large g}$

$$ \large{Sl_2=\Bigg\{M=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix}\Bigg/det(M)=ad-bc=1\Bigg\}\qquad\quad \bbox[#FFFFE0] {(AL1)}} $$

$\large{Sl_2}$ es un grupo de Lie muy representativo y se presta para generar un Algebra de Lie, como así mismo para ilustrar su estructura algebraica son sus elementos de transformación lineal mediante la llamada Teoría de las Representaciones, la cual será mencionada al fin de esta demostración ¹⁵⁰.

Desde esta conformación de grupo $Sl_2 \in GL(\mathbb R^2,\text{·})$, se define como el conjunto de matrices de $2 \times 2$ cuyas determinantes son igual a uno, - rotulada como $(AL1)$. A este grupo de Lie $Sl_2$, es posible asociarle un Algebra de Lie $\large{\mathfrak g}$, mediante una aproximación geométrica.

Aún más, dada la definición de $Sl_2$ es importante recordar que la determinante de una matriz cuadrada es un polinomio de sus entradas, por lo que es infinitamente diferenciable.¹⁴²

A continuación se mostrará que desde $Sl_2 \times Sl_2 \longrightarrow Sl_2$, de obtienen tres generadores de $\large{\mathfrak {g}}$, i.e. $Sl_2=\pmb{span\unicode{123}E,F,H\unicode{125}}$,- (Esa es la notación estándard, aquí se utilizará la notación $\pmb{\mathfrak{rg}=\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}}$). Estos generadores son matrices unitarias que van a ser conmutadas con la operación binaria corchetes de Lie, resultando $\large{\mathfrak {g}}$ es el conjunto de matrices antisimétricas, que llamaremos Algebra de Lie del grupo $Sl_2$:

$$\large{\mathfrak {g}}=\unicode{123} M \in \mathbb{R^n} \text{ / } \underbrace{M^T=-M}_{\text{Antisimetría}} \unicode{125}$$

En efecto, si parametrizamos los elementos de la matriz $M$ en $(AL1)$ como $a(t),b(t),c(t),d(t)$, i.e. con una función diferenciable $\varphi(t) \in Sl_2(\mathbb R)$, entonces se puede asumir que existe una curva $C$ que se desplaza sobre la superficie lisa del objeto.

Luego, bosquejamos en la figura#1 una curva $C$ continua y diferenciable que se desliza sobre esa (manifold) superficie suave tridimensional:

Fig#1 $\large{\varphi(t)}$: Curva $C$ sobre Variedad Suave

Entonces, $(AL1)$, en términos paramétricos se expresa con la siguiente la matriz:

$$\varphi(t)=\begin{pmatrix} a(t) & b(t)\\c(t) & d(t)\\ \end{pmatrix}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL2)}$$
Es decir, se asume que esta función $\varphi(t)$ del grupo $Sl_2$, determina una curva sobre la variedad en el plano 3-dimensional euclidiano, de modo que tiene un punto neutro igual a la idéntica. (Ver figura #2)¹³⁵

Luego, al evaluar la derivada $\varphi(t)$ de la función en el punto identidad $I$, se genera un plano tangente a la variedad en ese punto, y consecuentemente un Algebra de Lie asociada. Es decir, el Algebra de Lie de un Grupo de Lie, es definido como el espacio tangente en la identidad.

Ilustremos su demostración:

Sea $X=\begin{pmatrix} x & y\\z & w\\ \end{pmatrix} $, el conjunto de matrices de $2\times 2$ que genera un álgebra de Lie $\large{\mathfrak g}$.

Donde,

$$X=\varphi'(0)=\begin{pmatrix} a'(0) & b'(0)\\c'(0) & d'(0)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x & y\\z & w\\ \end{pmatrix}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL3)} $$
$$\Rightarrow$$

Fig#2: Variedad (Manifold) ~ Espacio Tangente $\large{\mathfrak {g}}$

Se asume que existe una curva $C$, definida por $\varphi(t)$ , tal que:

$$\varphi(\mathbb R):\longrightarrow Sl_2(\mathbb R)$$
$\Rightarrow$
$$\varphi(t)=\begin{pmatrix} a(t) & b(t)\\c(t) & d(t)\\ \end{pmatrix}=a(t)d(t)-b(t)c(t)=1\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL4)} $$
Evaluando la función $\varphi$ en el neutro $e$, i.e. en $t=0$ y sabiendo que $\varphi(0)=I$, tenemos:

$$\varphi(0)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\\ \end{pmatrix}\quad\Rightarrow \begin{matrix} a(0)=d(0)=1\\b(0)=c(0)=0\\ \end{matrix} \qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL4.1)} $$

Ahora, consideremos la siguente expresión (extraída desde $(AL4)$), para aplicar la diferenciación:

$$\bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\varphi(t)=a(t)d(t)-b(t)c(t)=1}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL5)}$$

De donde se deriva implícitamente la función $\varphi(t)$ con respecto al parámetro $t$:

$$\varphi'(t)=\underbrace{a'(t)d(t)+a(t)d'(t)}_{\large{(a(t)·d(t))'}}-\underbrace{(b'(t)c(t)+b(t)c'(t))}_{\large{(b(t)·c(t))'}}=\underbrace{0}_{\large{\frac{d(1)}{dt}=0}}$$


Evaluando la derivada $\varphi'(t)$ en $t=0$ y usando $(AL5)$, tenemos:

$$ \underbrace{a'(0)}_{\large{x}} d(0) + a(0)\underbrace{d'(0)}_{\large{w}}-\underbrace{b'(0)}_{\large{y}}c(0)-b(0)\underbrace{c'(0)}_{\large{z}})=0$$
Sustituyendo los valores de $(AL4.1)$, i.e. $a(0)=d(0)=1 \land b(0)=c(0)=0$ en $(AL6)$ y simplificando:

$$\varphi'(0)=\require{cancel} {a'(0)\cancelto{1}{d(0)} + \cancelto{1}{a(0)}d'(0)-b'(0)\cancelto{0}{c(0)}-\cancelto{0}{b(0)}c'(0)=0}$$
$$\Rightarrow$$
$$\varphi'(0)=\underbrace{a'(0)}_{\large{x}}+ \underbrace{d'(0)}_{\large{w}}=0$$

Considerando $(AL3)$. Es decir:

$$\Rightarrow$$
$$\mathbf {a'(0)=-d'(0) \iff x=-w}$$

De donde se conecta una representación de un álgebra de Lie $\mathfrak g$ de la forma:

$$\mathfrak{rg}=\Bigg\{\begin{pmatrix}x & y\\z & w\\\end{pmatrix}\Bigg/x=-w\Bigg\}$$

Extendiendo todas las combinaciones con la condición $\large{\mathbf {x=-w} \quad \Rightarrow}$, se obtienen tres matrices:


$$ \large{\mathfrak {rg}}=\Bigg\{ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} \Bigg\}=\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125} \qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL6)}$$

 Conmutadores del Algebra de Lie $\large{\mathfrak g}$

Aplicamos al conjunto $\large{\mathfrak{rg}=\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}}$ la operación binaria Corchetes de Lie, $[XY]=XY-YX$, para probar que cumple las propiedades⁸⁹ requeridas para constituir un Algebra de Lie.

Veremos una síntesis de los resultados en la siguiente tabla:

Explícitamente, operando matricialmente:

Luego, desde un punto de vista de la geometría euclídea este grupo especial $Sl_2$ se conecta con un Algebra de Lie $\large{\mathfrak g}$ mediante una representación que llamamos $\large{\mathfrak{rg}}$ del espacio tangente al punto Identidad, utilizando la operación binaria, - previamente definida -, Corchetes de Lie, i.e. se satisfacen las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con identidad de Jacobi.

El grupo lineal especial $Sl\subset G(n)$, se puede generalizar a un Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$, formada por todas las matrices de $n\times n$, sobre el cuerpo de los reales o complejos y cuya traza es nula.

Particularmente en los reales, $\large{\mathfrak {g}}$ es el conjunto de todas las matrices n-dimensionales antisimétricas, que llamaremos Algebra de Lie del grupo $Sl_n$.

Definida como:

$$\large{\mathfrak {g}}=\unicode{123} M \in \mathbb{R^n} \text{ / } \underbrace{M^T=-M}_{\text{Antisimetría}} \unicode{125}$$

 Cierre de la Demostración

Por tanto, se ha mostrado que desde el producto vectorial de este grupo de Lie $\mathbf {Sl_2}$ se obtienen tres generadores. Es decir, $\mathbf {Sl_2=}$span$\unicode{123}\mathbf {E, F, H}\unicode{125}$ o $\large{\mathfrak {rg}}=\unicode{123}\mathbf {g1, g2, g3}\unicode{125}$. Esta última $\large{\mathfrak {rg}}$, es la notación utilizada en este artículo.

Estos tres generadores $\large{\mathfrak {rg}}$ son las matrices unitarias:

$$ \large{\mathfrak {rg}}= \Bigg\{ \overbrace{ \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{E}}} }^{\large{g_1}} , \overbrace{\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{F}}}}^{\large{g_2}}, \overbrace{ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{H}}}}^{\large{g_3}} \Bigg\} $$

Donde, las relaciones de conmutación de estas matrices con la operación binaria Corchetes de Lie, se señalan a continuación con ambas notaciones ($\mathfrak{rg}=\unicode{123}E,F,H\unicode{125}\equiv \unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}$):

Desde ahí resulta $\large{\mathfrak {g}}$, que es el conjunto de matrices antisimétricas que llamaremos Algebra del Lie del Grupo $\mathbf {Sl_2}$

El ejercicio muestra que $\large{\mathfrak {rg}}$ es un conjunto de vectores del álgebra de Lie que pueden ser utilizados operando con los corchetes de Lie para obtener cualquier elemento del espacio.

En otrós términos, todo elemento del Algebra $\large{\mathfrak {g}}$ puede ser expresado como una combinación lineal de los generadores de base $\large{\mathfrak {rg}}$.

Lo interesante es que $\large{\mathfrak {g}}$ permite estudiar las propiedades del grupo de Lie de una forma más algebraica, i.e. sin recurrir a la propiedades geométricas específicas del grupo, lo que resulta especialmente útil en el estudio de los grupos de Lie y sus aplicaciones como la Geometría Diferencial y la teoría de representaciones.

La directa y estrecha relación entre el grupo de Lie y su correspondiente álgebra es unívoca ¹⁴⁷.

Esta conexión se manifiesta. - ilustrado en este ejercicio -, entre los generadores de ambas estructuras, i.e. $\large{\mathfrak {rg}}$ y los generadores infinitesimales del grupo de Lie $Sl_2$ ¹⁶⁰. (Ver Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie

 Otro Ejemplo de Representación de Algebra de Lie

El hecho de que $Sl(n,R)$ sea simple, pone a disposición la teoría de las representaciones de álgebras de Lie para ilustrar en muy buena forma un natural ejemplo de aplicación.

En efecto, un ejemplo análogo de $Sl_2$ se expone de manera excelente, - para todos aquellos que requieran profundizar sobre las representaciones de Dynkin y Algebra de Lie-, en la clase dentro del aula "Lie Algebra Representations" del profesor André Henriques (Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford) publicada en Youtube en agosto del 2015. $[B60]$

En esa clase muy pedagógica, André Henriques expone un ejemplo de $Sl_2$, de la forma:

$$Sl_2=\Bigg\{M=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix}\Bigg/a+d=0\Bigg\}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL7)}$$

Extendiendo las tres matrices unitarias generadoras del Algebra de Lie asociada, que satisfacen condición $a+d=0$, las cuales se rotulan como span $\unicode{123} H,E,F \unicode{125}$, de donde:

$$ H= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} $$
$$ E= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$
$$ F= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} $$
Operando estas matrices con Corchetes de Lie:

Diagramando y explicando detalladamente una representación de $(AL7)$ con un punto para cada dimensión, (i.e. en 5 dimensiones). Conectando en dirección hacia la derecha los puntos, después en dirección opuesta y tambien conexión de los puntos consigo mismo. Posteriormente mostrando como se satisfacen las operaciones de los corchetes de Lie en la representación gráfica.

Representación:  $G$ $\longrightarrow$ Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$¹⁴¹

Para finalizar, recomiendo consultar la conferencia o clase, acerca de los Grupos de Lie $SL(2,\mathbb C)$ y sus Algebra de Lie asociada del profesor Dr. Frederic Schuller de la Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, 21 sept 2015: "The Lie group $SL(2,C)$ and its Lie algebra $sl(2,C)$" $[B61]$. Sumado a una serie de publicaciones atingentes del Dr. Schuller en "Lectures on Geometrical Anatomy of Theoretical Physics"